ฟังก์ชันผกผัน

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน หรืออินเวอร์สฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย f^{-1} เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน

จากที่เรารู้กันว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชันก็สามารถหาตัวผกผันได้เช่นกัน แต่ตัวผกผันนั้นไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

เพราะอะไรถึงไม่จำเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน เราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ให้ f = {(1, 2), (3, 2), (4, 5),(6, 5)}  จะเห็นว่า f เป็นฟังก์ชัน

พิจารณาตัวผกผันของ f เท่ากับ {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (5, 6)}  จากนิยามของฟังก์ชัน ถ้าตัวหน้าเท่ากันแล้วตัวหลังจะต้องเท่ากัน ทำให้ได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างตัวผกผันของฟังก์ชัน

หาฟังก์ชันผกผันของ  เมื่อ

1.) f(x) = \frac{1}{x-2}

ให้ f(x) = y

ขั้นตอนที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x=\frac{1}{y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้  ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น  = \frac{1}{x}+2  เมื่อ x ≠ 0 (เพราะถ้า x =0จะหาค่าไม่ได้)

2.) f(x) = \sqrt{x+3}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \sqrt{y+3}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ 

ดังนั้น f^{-1}(x) = x^2-3

 

3.) f(x) = \frac{2x-3}{3x-2}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \frac{2y-3}{3y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{3x-2}  เมื่อ x ≠  \frac{2}{3}

 

ให้ f(x) = 3x + 5 จงหา

4.) f^{-1}(3)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย 3

จะได้  f^{-1}(3) = \frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}

 

5.) f^{-1}(-1)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย -1

จะได้  f^{-1}(-1) = \frac{5-(-1)}{3}=\frac{5+1}{3}=\frac{6}{3}=2

 

การตรวจสอบว่าตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชันหรือไม่

การตรวจสอบทำได้ 2 วิธี คือ

  1. หาตัวผกผันมาก่อนแล้วเช็คว่าตัวผกผันนั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่
  2. หาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ขยายความทฤษฎีบท

ฟังก์ชันผกผันเรามีข้อความอยู่สองข้อความ ที่มีตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อขั้นกลางอยู่

ถ้าเรารู้ว่าฝั่งใดฝั่งหนึ่งจริง เราสามารถสรุปข้อความอีกฝั่งหนึ่งได้เลย

เช่น ถ้าเรารู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน เราก็จะรู้ด้วยว่า f เป็นฟังก์ชัน

ในขณะเดียวกัน ถ้าเรารู้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราก็จะรู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน

 

แต่ ถ้าเรารู้ว่าข้อความฝั่งหนึ่งไม่จริง เราก็สามารถสรุปได้เช่นกันว่า ข้อความอีกฝั่งก็ไม่จริง

เช่น เรารู้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เลยว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้าเรารู้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างการตรวจสอบ ฟังก์ชันผกผัน

 

ให้ f เป็นฟังก์ชัน ที่ f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

วิธีทำ 1 จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะได้ว่า f^{-1}  = {(y, x ) : y, x ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

หรือเขียนได้อีกแบบคือ f^{-1} = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ x = 2y + 3}  << ตรงสมการ เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะตรวจสอบว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยสมมติคู่อันดับมาสองคู่ ให้เป็น (x_1, y_1),(x_1,y_2) ซึ่งทั้งสองคู่อันดับนี้ เป็นคู่อันดับใน f^{-1}

ดังนั้นเราสามารถแทน คู่อันดับทั้งสองไปในสมการ x = 2y + 3 ได้

ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันจะได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันเพราะ เมื่อสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเหมือนกันสมาชิกตัวหลังก็เหมือนกันด้วย

วิธีที่ 2  จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่เพื่อนำมาสรุปการเป็นฟังก์ชันของf^{-1} 

สมมติให้ (x_1,y_1),(x_2,y_1) เป็นคู่อันดับใน f 

ดังนั้นเราสามารถแทนคู่อันดับทั้งสองคู่อันดับในสมการ y = 2x + 3 ได้

ได้เป็น ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเมื่อเราให้สมาชิกตัวหลังเท่ากันแล้วเราได้ว่าสมาชิกตัวหน้าก็เท่ากัน

และ จาก f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเลยทำให้สรุปได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชัน

 

จากวิธีทั้งสองวิธี น้องๆสามารถเลือกวิธีตรวจสอบที่ตัวเองถนัดได้เลย ได้คำตอบเหมือนกันจ้า

 

เนื้อหาที่ควรรู้เพื่อง่ายต่อการทำความเข้าใจ

 

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

auxiliary verbs

Auxiliary Verbs คืออะไร?

สวัสดีน้องๆ ม.5 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับสิ่งที่เรียกว่า Auxiliary Verbs ในภาษาอังกฤษกันครับ

การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซตประกอบไปด้วย ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ของเซต และผลต่าง เรื่องนี้เป็นอีกหนึ่งเรื่องที่เราจะได้ใช้ในบทต่อๆไป เรื่องนี้จึงค่อนข้างมีประโยชน์ในเรื่องของการเรียนเนื้อหาบทต่อไปง่ายขึ้น

มัทนะพาธา

บทละครพูดคำฉันท์เรื่อง มัทนะพาธา ที่มาและเรื่องย่อ

บทละครพูดคำฉันท์เรื่อง มัทนะพาธา เป็นวรรณคดีที่ทรงคุณค่าทางวรรณศิลป์ได้รับการยกย่องว่าแต่งดีและมีความแปลกใหม่อีกเรื่องหนึ่ง น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยคุ้นหูกันมาบ้างตามสื่อต่าง ๆ เพราะวรรณคดีเรื่องนี้เป็นหนึ่งในเรื่องที่โด่งดังจึงมักถูกหยิบไปทำเป็นละครทางโทรทัศน์บ่อย ๆ แต่จะมีความเป็นมาอย่างไรนั้น วันนี้เราจะไปศึกษาเรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ   ประวัติความเป็นมาของบทละครพูดคำฉันท์เรื่อง มัทนะพาธา     มัทนะพาธาเป็นบทละครพูดคำฉันท์ พระราชนิพนธ์ในพระบาทสมเด็จเพราะมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว รัชกาลที่ 6 ทรงมีพระราชกุศลเพื่อสร้าง ตำนานแห่งดอกกุหลาบ จึงทรงผูกเรื่องขึ้นมาใหม่หมด ทรงให้ความสำคัญเรื่องความถูกต้อง และความสมจริงในรายละเอียดของเรื่อง

ศัพท์บัญญัติ

ศัพท์บัญญัติ เรียนรู้การยืมคำและบัญญัติขึ้นใหม่

น้อง ๆ หลายคนอาจจะไม่ค่อยคุ้นเคยกับคำว่า ศัพท์บัญญัติ สักเท่าไหร่ บทเรียนวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปทำความรู้จักกับศัพท์บัญญัติที่ว่านั่นกันค่ะว่าคืออะไร มีที่มาและมีหลักเกณฑ์ในการสร้างอย่างไรบ้าง ถ้าน้อง ๆ พร้อมที่จะเรียนรู้กันแล้ว ก็ไปศึกษาเรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ   การบัญญัติศัพท์คืออะไร     การบัญญัติศัพท์ คือการกำหนดคำศัพท์จากภาษาต่างประเทศขึ้นมาใหม่ในภาษาไทย เพื่อใช้สื่อความหมายบางอย่างโดยเฉพาะในศาสตร์แขนงใดแขนงหนึ่ง หรือเพื่อใช้ในการเขียนเอกสารของงานราชการ ตามเจตนาของผู้บัญญัติ ซึ่งคำศัพท์ที่เกิดจากวิธีการเช่นนี้จะเรียกว่า ศัพท์บัญญัติ โดยทั่วแล้วศัพท์บัญญัติมักจะมาจากภาษาอังกฤษ

ผู้ชนะ

ผู้ชนะ บทอาขยานที่ว่าด้วยความไม่ย่อท้อ

บทอาขยาน คือ บทท่องจำจากวรรณคดีเรื่องต่าง ๆ หรือเป็นคำประพันธ์ที่มีความไพเราะ และมีความงดงามทางภาษา มีความหมายดี และให้ข้อคิดที่มีคุณค่า สามารถนำไปใช้ในชีวิตได้ และบทอาขยานที่เราจะได้เรียนรู้กันในวันนี้ก็คือบทอาขยานเรื่อง ผู้ชนะ จะเป็นอย่างไรบ้างนั้นเราไปดูพร้อมกันเลยค่ะ   ประวัติความเป็นมาของเรื่องผู้ชนะ     บุญเสริม แก้วพรหม เป็นนักแต่งกลอนชาวนครศรีธรรมราช เริ่มฝึกเขียนกลอนตั้งแต่สมัยเรียนอยู่ชั้นประถม จากการคลุกคลีกับหนังสือและเรียนรู้เกี่ยวกับบทกลอนในห้องเรียน แต่มาเริ่มเขียนอย่างจริงจังในระดับชั้นมัธยมศึกษา ได้ส่งผลงานเข้าประกวดและผ่านการคัดเลือกลงหนังสือพิมพ์ ออกอากาศทางวิทยุ แนวที่เขียนเป็นเรื่องเกี่ยวกับความรักและสะท้อนสังคม

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1