บทความนี้จะเป็นการสอนวิธี การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งสามารถทำได้โดยการจัดรูปของตัวแปรให้อยู่ด้านเดียวกันและตัวเลขอยู่อีกด้าน เพื่อหาค่าของตัวแปรนั้นๆ แต่ก่อนที่น้องๆจะได้เรียนรู้การแก้อสมการนั้น น้องๆสามารถทบทวน อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ⇐⇐
หลักการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะทำคล้ายๆกับการแก้สมการ โดยมีหลักการ ดังนี้
- จัดตัวแปรให้อยู่ข้างเดียวกัน และจัดตัวเลขไว้อีกฝั่ง (นิยมจัดตัวแปรไว้ด้านซ้ายของสัญลักษณ์อสมการ และจัดตัวเลขไว้ด้านขวาของสัญลักษณ์อสมการ)
- ถ้านำจำนวนลบ มาคูณ หรือ หาร สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม ดังนี้
-
- มากกว่า (>) เปลี่ยนเป็น น้อยกว่า (<)
- น้อยกว่า (<) เปลี่ยนเป็น มากกว่า (>)
- มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) เปลี่ยนเป็น น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤)
- น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) เปลี่ยนเป็น มากกว่าหรือเท่ากับ (≥)
- ไม่ท่ากับ (≠) สัญลักษณ์ไม่เปลี่ยน
จากหลักการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ที่ระบุว่า เมื่อนำจำนวนลบมา คูณ หรือ หาร สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้ามนั้น น้องๆมาสังเกตดูว่า ถ้านำจำนวนบวกมา คูณ หรือ หาร สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนมั้ย??
จงเติมคำตอบว่าอสมการเป็นจริงหรือเท็จ เมื่อคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงบวก
| ข้อ | อสมการ | อสมการเป็นจริง
หรือเท็จ |
ผลคูณ |
อสมการเป็นจริง หรือเท็จ |
|
1 |
3 < 8 |
เป็นจริง |
3 x 4 < 8 x 4
12 < 32 |
เป็นจริง |
| 2 | –4 ≤ –2 |
เป็นจริง |
(–4) x 4 ≤ (–2) x 4
–16 ≤ –8 |
เป็นจริง
|
|
3 |
–5 < 1 | เป็นจริง | (–5) x 3 < 1 x 3
–15 < 3 |
เป็นจริง
|
| 4 |
4 ≥ 3 |
เป็นจริง |
4 x 5 ≥ 3 x 5
20 ≥ 15 |
เป็นจริง
|
| 5 | 3 > –1 | เป็นจริง | 3 x 12 > (–1) x 12
36 > –12 |
เป็นจริง
|
จะเห็นว่าเมื่อคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงบวก อสมการเป็นจริงทุกอสมการ นั่นคือ เมื่อคูณ หรือ หาร ทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงบวก สัญลักษณ์ของอสมการจะไม่เปลี่ยน
ถ้าคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงลบ สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนหรือไม่
|
ข้อ |
อสมการ | อสมการเป็นจริง
หรือเท็จ |
ผลคูณ | อสมการเป็นจริง
หรือเท็จ |
|
6 |
3 < 5 | เป็นจริง | 3 x (–4) < 5 x (–4)
–12 < –20 |
เท็จ |
| 7 | –4 ≤ –3 |
เป็นจริง |
–4 x (–4) ≤ –3 x (–4) 16 ≤ 12 |
เท็จ |
|
8 |
–5 < 2 | เป็นจริง | –5 x (–3) < 2 x (–3)
15 < –6 |
เท็จ |
| 9 | 4 ≥ 1 | เป็นจริง | 4 x (–5) ≥ 1 x (–5)
–20 ≥ –5 |
เท็จ |
| 10 | 3 > –1 | เป็นจริง | 3 x (–12) > –1 x (–12)
–36 > 12 |
เท็จ |
จะเห็นว่าเมื่อคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงลบ อสมการเป็นเท็จทุกอสมการ นั่นคือ เมื่อคูณ หรือ หาร ทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงลบ สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม เพื่อทำให้อสมการเป็นจริง ซึ่งเป็นจริงตามหลักการข้อที่ 2
วิธีแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ลำดับต่อไป มาเรียนรู้วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จากตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของอสมการ 3x – 2 < 10
จาก 3x – 2 < 10
นำ 2 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 3x – 2 + 2 < 10 + 2
3x < 12
3x(¹⁄₃ ) < 12(¹⁄₃ )
x < 4
ดังนั้น คำตอบของอสมการ 3x – 2 < 10 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 4
ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของสมการ –4x + 10 ≤ 30
วิธีทำ จาก –4x + 10 ≤ 30
นำ –10 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ –4x + 10 + (–10) ≤ 30 + (–10)
–4x ≤ 20
–4x(–¹⁄₄ ) ≥ 20(–¹⁄₄)
x ≥ –5
ดังนั้น คำตอบของอสมการ –4x + 10 ≤ 30 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ –5
ตัวอย่างที่ 3 จงหาคำตอบของสมการ 2(x – 10) < 4
วิธีทำ จาก 2(x – 10) < 4
นำ 2 คูณเข้าไปในวงเล็บ
จะได้ 2x – 20 < 4
2x < 4 + 20
2x < 24
นำ ¹⁄ ₂ คูณทั้งสองข้างของอสมการ
2x (¹⁄ ₂ ) < 24 (¹⁄ ₂)
x < 12
ดังนั้น คำตอบของอสมการ 2(x – 10) < 4 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 12
ตัวอย่างที่ 4 จงหาคำตอบของสมการ 28 – 4x > 20
วิธีทำ จาก 28 – 4x > 20
นำ –28 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 28 – 4x – 28 > 20 – 28
–4x > –8
นำ –¹⁄₄ คูณทั้งสองข้างของอสมการ
–4x (–¹⁄₄ ) < -8 (–¹⁄₄)
x < 2
ดังนั้น คำตอบของอสมการ 28 – 4x > 20 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 2
ตัวอย่างที่ 5 จงหาคำตอบของสมการ x – 5 ≥ 2x – 7
วิธีทำ จาก x – 5 ≥ 2x – 7
นำ 7 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ x – 5 + 7 ≥ 2x – 7 + 7
x + 2 ≥ 2x
นำ x ลบทั้งสองข้างของอสมการ
x + 2 – x ≥ 2x – x
2 ≥ x หรือ x ≤ 2
ดังนั้น คำตอบของอสมการ x – 5 ≥ 2x – 7 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2
ตัวอย่างที่ 6 จงหาคำตอบของสมการ 3(x – 7) ≠ 12
วิธีทำ จาก 3(x – 7) ≠ 12
จะได้ 3x – 21 ≠ 12
นำ 21 บวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 3x – 21 + 21 ≠ 12 + 21
3x ≠ 33
x ≠ 11
ดังนั้น คำตอบของอสมการ 3(x –7) ≠ 12 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 11
ตัวอย่างที่ 7 จงหาคำตอบของสมการ x – 12 ≠ 2x – 4
วิธีทำ จาก x – 12 ≠ 2x – 4
นำ 4 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ x – 12 + 4 ≠ 2x – 4 + 4
x – 8 ≠ 2x
นำ x ลบทั้งสองข้างของอสมการ
x – 8 – x ≠ 2x – x
x ≠ -8
ดังนั้น คำตอบของอสมการ x – 12 ≠ 2x – 4 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น -8
แบบฝึกหัด พร้อมเฉลย
จงแสดงวิธีแก้อสมการต่อไปนี้
| 1) 5x – 10 ≠ 30 วิธีทำ จาก 5x – 10 ≠ 30 5x – 10 + 10 ≠ 30 + 10 5x ≠ 40 5x (¹⁄ ₅ ) ≠ 40 (¹⁄ ₅ ) x ≠ 8 |
2) 2x – 17 ≥ -11 วิธีทำ จาก 2x – 17 ≥ -11 2x – 17 + 17 ≥ -11+17 2x ≥ 6 x ≥ 3 |
| 3) 3x + 15 < 30 วิธีทำ จาก 3x + 15 < 30 3x + 15 – 15 < 30 – 15 3x < 15 x < 5 |
4) 10x + 5 ≥ 25 วิธีทำ จาก 10x +5 ≥ 25 10x + 5 – 5 ≥ 25 – 5 10x ≥ 20 x ≥ 2 |
| 5) 4x + 10 > 50 วิธีทำ จาก 4x + 10 > 50 4x + 10 – 10 > 50 – 10 4x > 40 x > 10 |
6) 7x – 3 ≠ 4 วิธีทำ จาก 7x – 3 ≠ 4 7x – 3 + 3 ≠ 4 + 3 7x ≠ 7 x ≠ 1 |
| 7) 3(x + 1) ≥ 15 วิธีทำ จาก 3(x + 1) ≥ 15 x + 1 ≥ 5 x + 1 – 1 ≥ 5 – 1 x ≥ 4 |
8) 2(x – 4) < 12 วิธีทำ จาก 2(x – 4) < 12 x – 4 < 6 x – 4 + 4 < 6 + 4 x < 10 |
เมื่อน้องๆเรียนรู้เรื่องการเแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะทำให้น้องๆสามารถแก้อสมการได้อย่างถูกต้องและแม่นยำ สามารถนำความรู้ที่ได้จากการเรียนเรื่องสมการมาประยุกต์ใช้กับอสมการได้ เมื่อน้องๆ หาคำตอบได้แล้ว น้องๆจะต้องเขียนกราฟของคำตอบของสมการ ซึ่งเขียนในรูปของเส้นจำนวน อยู่ในบทความเรื่องกราฟของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
วิดีโอ การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวม วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยสาระความรู้ และเทคนิค ที่จะทำให้น้องๆมองวิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย
