โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

บทความนี้ได้รวบรวม โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ไว้หลากหลายตัวอย่าง ซึ่งแสดงวิธีคิดอย่างละเอียด สามารถเรียนรู้และเข้าใจได้ง่าย แต่ก่อนที่น้องๆจะได้เรียนรู้การแก้อโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว น้องๆสามารถทบทวน อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ⇐⇐

ในการแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะต้องใช้สัญลักษณ์ของอสมการแทนคำเหล่านี้

< แทนความสัมพันธ์น้อยกว่า หรือไม่ถึง

> แทนความสัมพันธ์มากกว่า หรือเกิน

≤ แทนความสัมพันธ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ หรือไม่เกิน

≥ แทนความสัมพันธ์มากกว่าหรือเท่ากับ หรือไม่ต่ำกว่า / ไม่น้อยกว่า

≠ แทนความสัมพันธ์ไม่เท่ากับ หรือ ไม่เท่ากัน

เราจะใช้ประโยชน์จากการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่ได้ศึกษามาแล้ว นำมาช่วยแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ขั้นตอนวิธีคล้ายกับการแก้ปัญหาโจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ดังนี้

1. สมมติตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ถามหรือเกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ถาม
2. สร้างอสมการด้วยเงื่อนไขในโจทย์ที่กำหนดให้
3. แก้อสมการเพื่อหาคำตอบ

น้องๆ สามารถศึกษาวิธีการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ได้จากตัวอย่าง ต่อไปนี้

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจำนวน

ตัวอย่างที่ 1 ถ้าสองเท่าของจำนวนเต็มบวก จำนวนหนึ่งมากกว่า 20 อยู่ไม่ถึง 8 จงหาว่าจำนวนๆนั้นเป็นจำนวนใดได้บ้าง

อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่ถึง

วิธีทำ สมมติว่าจำนวนที่ต้องการ คือ x

จากโจทย์จะได้ว่า 2x – 20 < 8

หาคำตอบของอสมการข้างต้นได้ดังนี้

2x – 20 < 8

2x < 8 + 20

2x < 28

x < 14

แต่ 2x จะต้องมากกว่า 20

นั้นคือ x ต้องมากกว่า 10

ดังนั้น คำตอบคือจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 10 และน้อยกว่า 14 ซึ่งได้แก่ 11, 12 และ 13

ตัวอย่างที่ 2 จำนวนจำนวนหนึ่งถูกหักไป ¹⁷⁄₁₈ แล้วยังมีค่ามากกว่า ³¹⁄₉ อยากทราบว่าจำนวนจำนวนนั้นเป็น จำนวน ที่น้อยกว่า 4 ได้หรือไม่

วิธีทำ สมมติให้จำนวนนั้นเป็น x

ถูกหักไป ¹⁷⁄₁₈ ยังมีค่ามากกว่า ³¹⁄₉

ดังนั้น x – ¹⁷⁄₁₈ > ³¹⁄₉

x > ³¹⁄₉ + ¹⁷⁄₁₈

x > ⁷⁹⁄₁₈

x > $4\frac{7}{18}$

ดังนั้น จำนวนนั้นจะน้อยกว่า 4 ไม่ได้ จำนวนนั้นต้องมากกว่า $4\frac{7}{18}$

ตัวอย่างที่ 3 สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งหักออกเสีย 5 จะมีผลลัพธ์ไม่ถึง 22 จงหาจำนวนจำนวนนั้น

อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่ถึง, หักออก คือการลบ

วิธีทำ ให้จำนวนจำนวนนั้น คือ a

สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งหักออกเสีย 5 จะได้ 3a – 5 มีผลลัพธ์ไม่ถึง 22

เขียนเป็นอสมการได้ ดังนี้ 3a – 5 < 22

นำ 5 บวกทั้งสองข้างของอสมการ

จะได้ 3a – 5 + 5 < 22 + 5

3a < 27

นำ ¹⁄₃ คูณทั้งสองข้างของอสมการ

จะได้ 3a x ¹⁄₃ < 27 x ¹⁄₃

a < 9

ตรวจคำตอบ ถ้า a < 9 ให้ a = 8.99 สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งหักออกเสีย 5 มีผลลัพธ์ไม่ถึง 22

จะได้ 3(8.99) – 5 < 22

26.97 – 5 < 22

21.97 < 22 เป็นจริง

ดังนั้น จะได้ว่าจำนวนจริงทุกๆ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 9 จะสอดคล้องกับอสมการ 3a – 5 < 22

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับผลบวกและผลต่าง

ตัวอย่างที่ 4 สามเท่าของผลต่างระหว่างจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 2 มีค่าไม่น้อยกว่า 21 จงหาจำนวนจำนวนนั้น

อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ ≥ แทน ไม่น้อยกว่า , ผลต่าง คือการลบ

วิธีทำ ให้จำนวนจำนวนนั้น คือ a

สามเท่าของผลต่างระหว่างจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 2 จะได้ 3(a – 2) มีค่าไม่น้อยกว่า 21

เขียนเป็นอสมการได้ดังนี้ 3(a – 2) ≥ 21

นำ ¹⁄₃ คูณทั้งสองข้างของอสมการ

จะได้ 3(a – 2) x ¹⁄₃ ≥ 21 x ¹⁄₃

a – 2 ≥ 7

นำ 2 บวกทั้งสองข้างของอสมการ

จะได้ a – 2 + 2 ≥ 7 + 2

a ≥ 9

ตรวจคำตอบ ถ้า a ≥ 9 ให้ a = 9.01 สามเท่าของผลต่างระหว่างจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 2 มีค่าไม่น้อยกว่า 21

จะได้ 3(9.01 – 2) ≥ 21

3(7.01) ≥ 21

21.03 ≥ 21 เป็นจริง

ดังนั้น จะได้ว่าจำนวนจริงทุกๆ จำนวนที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 9 จะสอดคล้องกับอสมการ 3(a – 2) ≥ 21

ตัวอย่างที่ 5 ผลบวกของจำนวนเต็มสามจำนวนเรียงกัน มีค่าไม่ถึง 96 จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนที่มากที่สุดที่เรียงต่อกัน

อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่ถึง

วิธีทำ สมมุติให้จำนวนเต็มน้อยที่สุดเป็น x

จำนวนเต็มสามจำนวนเรียงต่อกัน x, x + 1, x + 2

แต่ผลบวกของจำนวนเต็มที่เรียงต่อกันมีค่าไม่ถึง 96

ประโยคสัญลักษณ์ x + (x + 1) + (x + 2) < 96

x + x + 1 + x + 2 < 96

3x + 3 < 96

3x + 3 – 3 < 96 –3

3x < 93

3x (¹⁄₃) < 93 (¹⁄₃)

x < 31

เนื่องจากจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 31 คือ 30

จะได้ x ที่น้อยกว่า 31 คือ 30 ดังนั้น จำนวนถัดไปคือ 31 และ 32

ดังนั้น จำนวนเต็มสามจำนวนที่มีค่ามากที่สุดเรียงต่อกัน แล้วผลบวกทั้งสามจำนวน ไม่ถึง 96 คือ 30, 31 และ 32

โจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวัน

ตัวอย่างที่ 6 ดาลินซื้อน้ำขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้ำขวดเล็กราคาขวดละ 5 บาท ขายน้ำขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท อยากทราบว่า ดาลินซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมากที่สุดกี่ขวด

วิธีทำ ให้ ดาลินซื้อน้ำขวดเล็กมาขาย x ขวด

จะได้ว่า ดาลินซื้อน้ำขวดกลางมาขาย 200 – x ขวด

ขายน้ำขวดเล็กได้เงิน 5x บาท

ขายน้ำขวดกลางได้เงิน 8(200 – x) บาท

ขายน้ำทั้งหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท

ราคาขาย – ต้นทุน = กำไร

ประโยคสัญลักษณ์ 5x + 8(200 – x) – 1,200 > 250

5x + 1,600 – 8x – 1,200 > 250

–3x + 400 > 250

–3x > 250 – 400

–3x > –150

(คูณด้วยจำนวนลบสัญลักษณ์อสมการเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม > เปลี่ยนเป็น <)

–3x (-¹⁄₃) < –150 (-¹⁄₃)

x < 50

ดังนั้น ดาลินซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมากที่สุด 49 ขวด

ตัวอย่างที่ 7 ลลิตามีเหรียญบาทและเหรียญห้าบาทอยู่ในกระป๋องออมสินจำนวนหนึ่ง เมื่อเหรียญเต็มกระป๋อง เขาเทออกมานับพบว่า มีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาท 12 เหรียญ นับเป็นจำนวนเงินไม่น้อยกว่า 300 บาท หาว่ามีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อยกี่เหรียญ

อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ ≥ แทน ไม่น้อยกว่า

วิธีทำ เนื่องจากโจทย์พูดถึงจำนวนเงิน ดังนั้น เราต้องคำนึงถึงจำนวนเงิน

สมมุติให้มีเหรียญห้าบาทอยู่จำนวน x เหรียญ คิดเป็นเงิน 5x บาท

มีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาทอยู่ 12 เหรียญ คือ x + 12 เหรียญ

คิดเป็นเงิน x + 12 บาท

นับเป็นจำนวนเงินไม่น้อยกว่า 300 บาท

ประโยคสัญลักษณ์ 5x + (x + 12) ≥ 300

5x + x + 12 ≥ 300

5x + x + 12 – 12 ≥ 300 – 12

6x ≥ 288

6x ( ¹⁄₆) ≥ 288 ( ¹⁄₆)

x ≥ 48

ดังนั้น ลลิตามีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อย 48 เหรียญ

ตัวอย่างที่ 8 น้ำหนึ่งอ่านหนังสือเล่มหนึ่ง วันแรกอ่านได้ 40% ของเล่ม วันต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้า รวมสองวันอ่านหนังสือได้มากกว่าครึ่งเล่ม จงหาว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนไม่เกินกี่หน้า

อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่เกิน

วิธีทำ สมมุติให้หนังสือเล่มนี้มีจำนวน x หน้า

วันแรกอ่านได้ 40% ของเล่ม คิดเป็น $\frac{40x}{100}$ หน้า

หนังสือครึ่งเล่ม คิดเป็น $\frac{x}{2}$ หน้า

ประโยคสัญลักษณ์ $\frac{40x}{100}$ + 25 > $\frac{x}{2}$

$\frac{40x}{100}$ + 25 – 25 > $\frac{x}{2}$ – 25

$\frac{4x}{10}$ > $\frac{x}{2}$ – 25

$\frac{4x}{10}$ – $\frac{x}{2}$ > – 25

$\frac{4x}{10}$ – $\frac{x}{2}$ x $\frac{5}{5}$ > – 25

$\frac{4x}{10}$ – $\frac{5x}{10}$ > – 25

$\frac{-x}{10}$ > – 25

(คูณด้วยจำนวนลบสัญลักษณ์อสมการเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม > เปลี่ยนเป็น <)

$\frac{-x}{10}$ (-10) < – 25 (-10)

x < 250

ดังนั้น หนังสือเล่มนี้มีจำนวนไม่เกิน 250 หน้า

เมื่อน้องๆเรียนรู้เรื่องการเแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะทำให้น้องๆสามารถวิเคราะห์โจทย์ และแปลงให้อยู่ในรูปของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และแก้อสมการได้อย่างถูกต้อง โดยสามารถนำความรู้ที่ได้จากการเรียนเรื่องอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว มาประยุกต์ใช้กับการแก้โจทย์ปัญหาอสมการได้

วิดีโอ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวม วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยสาระความรู้ และเทคนิค ที่จะทำให้น้องๆมองวิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย

https://www.youtube.com/watch?v=joheKast0DA