อัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน
บทความนี้จะทำให้น้องๆ มีความรู้ความเข้าใจในเรื่อง อัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน ซึ่งได้รวบรวมตัวอย่างไว้อย่างหลากหลาย ซึ่งก่อนที่น้องๆจะเรียนเรื่องนี้จะต้องเรียนรู้เรื่อง อัตราส่วนที่เท่ากัน โดยการที่จะหาอัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวนหรือเรียกอีกอย่างว่า อัตราส่วนต่อเนื่อง ได้นั้น น้องๆ จำเป็นต้องหา ค.ร.น. ของตัวร่วม ดังนั้นเรามาทบทวนวิธีการหา ค.ร.น. กันก่อนนะคะ
จงหา ค.ร.น. ของ 3, 6 และ 12
3) 3 6 12
2) 1 2 4
1 1 2
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 3, 6 และ 12 คือ 3 x 2 x 1 x 1 x 2 = 12
กำหนดอัตราส่วนสองอัตราส่วนที่ต่อเนื่องกัน ดังนี้
อายุของ a ต่ออายุของ b เป็น 4 : 3
และ อายุของ b ต่ออายุของ c เป็น 3 : 5
นอกจากการเขียนอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบอายุของ a, b และ c ทีละคู่แล้ว เรายังสามารถเขียนอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบอายุของ a, b และ c ได้ดังนี้
อายุของ a ต่ออายุของ b ต่ออายุของ c เป็น 4 : 3 : 5
อัตราส่วนเช่นนี้เรียกว่า อัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน
ถ้าเรามีอัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน เราสามารถเขียนอัตราส่วนของจำนวนทีละสองจำนวน จากอัตราส่วนนั้นได้ ดังนี้
นมสดยูเอชทีกล่องหนึ่งมีอัตราส่วนของคอเลสเตอรอลต่อโปรตีนต่อโชเดียมโดยน้ำหนัก เป็น 3 : 10 : 13
จากอัตราส่วนของสารอาหารในนมสดยูเอชที เราอาจเขียนอัตราส่วนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณได้เช่น
อัตราส่วนของคอเลสเตอรอลต่อโปรตีนโดยน้ำหนัก เป็น 3 : 10
อัตราส่วนของโปรตีนต่อโชเดียมโดยน้ำหนัก เป็น 10 : 13
อัตราส่วนของคอเลสเตอรอลต่อโชเดียมโดยน้ำหนัก เป็น 3 : 13
ตัวอย่าง อัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน
สามารถศึกษาอัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน ที่มีการเปรียบเทียบกันเป็นคู่ ๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 ถ้า a : b = 3 : 2 และ b : c = 2 : 5 จงเขียนอัตราส่วนของ a : b : c เท่ากับเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์ a : b = 3 : 2
และ b : c = 2 : 5
เนื่องจาก b เป็นตัวร่วมและมีค่าเท่ากันคือ 2
ดังนั้น อัตราส่วนของ a : b : c = 3 : 2 : 5
(ถ้าตัวร่วมมีค่าเท่ากัน ให้เขียนอัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน ได้เลย)
ตัวอย่างที่ 2 ถ้า a : b = 7 : 5 และ b : c = 20 : 12 จงเขียนอัตราส่วนของ a : b : c เท่ากับเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์ a : b = 7 : 5
และ b : c = 20 : 12
เนื่องจาก b เป็นตัวร่วมแต่มีค่าไม่เท่ากันคือมีค่าเป็น 5 และ 20
ค.ร.น. ของ 5 และ 20 คือ 20
จะได้ a : b = 7 x 4 : 5 x 4 = 28 : 20
และจาก b : c = 20 : 12
ดังนั้น อัตราส่วนของ a : b : c = 28 : 20 : 12
(ถ้าตัวร่วมมีค่าไม่เท่ากัน ให้หา ค.ร.น. ของตัวร่วมก่อน แล้วคูณอัตราส่วนของแต่ละอัตราส่วนขึ้นใหม่โดยมีตัวร่วมเท่ากัน แล้วเขียนอัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน) เช่น ในตัวอย่างที 2 ตัวร่วมคือ b มีค่าไม่เท่ากัน คือ 5 และ 20 จึงต้องหา ค.ร.น. ของ 5 และ 20 ได้เท่ากับ 20 แล้วคูณตัวร่วมให้เท่ากับ 20
สรุปวิธีการหาอัตราส่วนของจำนวนหรืออัตราส่วนต่อเนื่อง มีวิธีการดังนี้
1) ให้พิจารณาโจทย์หาตัวร่วม
2) ถ้าจำนวนที่เป็นตัวร่วมในข้อที่ 1) เท่ากัน ให้เขียนอัตราส่วนต่อเนื่องได้เลย (เหมือนตัวอย่างที่ 1)
3) ถ้าจำนวนที่เป็นตัวร่วมในข้อ 1) ไม่เท่ากัน ต้องทำตัวร่วมให้เท่ากันโดยการหา ค.ร.น. ของจำนวนที่เป็นตัวร่วม (เหมือนตัวอย่างที่ 2)
4) คูณอัตราส่วนของแต่ละอัตราส่วนขึ้นใหม่โดยมีตัวร่วมเท่ากัน
5) เขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน
อัตราส่วนของจำนวนหลาย ๆ จำนวน a : b : c สามารถเขียนอัตราส่วนของจำนวน ทีละสองจำนวนได้เป็น a : b และ b : c เมื่อ m แทนจำนวนบวกใด ๆ
จะได้ว่า a : b = am : bm
และ b : c = bm : cm
ดังนั้น a : b : c = am : bm : cm เมื่อ m แทนจำนวนบวก
ถ้ามีอัตราส่วนของจำนวนที่มากกว่าสามจำนวนก็สามารถใช้หลักการเดียวกันนี้ เช่น
a : b : c : d = am : bm : cm : dm เมื่อ m แทนจำนวนบวก
ตัวอย่างที่ 3 ในการผสมคอนกรีต อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1 : 2 และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3 : 2 ถ้าใช้ปูน 24 ตัน จะต้องใช้ทรายและหินอย่างละกี่ตัน
วิธีทำ อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1 : 2
อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3 : 2
ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ 6
จะได้ อัตราส่วนของปูนต่อทรายโดยน้ำหนัก เป็น 1 x 3 : 2 x 3 = 3 : 6
และ อัตราส่วนของทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น 3 x 2 : 2 x 2 = 6 : 4
ดังนั้น ถ้าใช้ปูน 24 ตัน อัตราส่วนของปูนต่อทรายต่อหินโดยน้ำหนัก เป็น
3 : 6 : 4 = 3 x 8 : 6 x 8 : 4 x 8
= 24 : 48 : 32
นั่นคือ จะต้องใช้ทราย 48 ตัน และหิน 32 ตัน
ตัวอย่างที่ 4 อัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเป็น 3 : 4 : 5 ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปนี้มีความยาวรอบรูปเป็น 36 เซนติเมตร จงหาความยาวแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้
วิธีทำ เนื่องจาก อัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสามเป็น 3 : 4 : 5
จะได้ความยาวรอบรูปเป็น 3 + 4 + 5 = 12
ดังนั้นอัตราส่วนของความยาวของด้านทั้งสามต่อความยาวรอบรูปเป็น 3 : 4 : 5 : 12
ถ้าสามเหลี่ยมรูปนี้มีความยาวรอบรูปเป็น 36 เซนติเมตร แสดงว่า
3 : 4 : 5 : 12 = 3 x 3 : 4 x 3 : 5 x 3 : 12 x 3
= 9 : 12 : 15 : 36
ดังนั้น ความยาวแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็น 9, 12, 15 และ 36 เซนติเมตรตามลำดับ
ตัวอย่างที่ 5 อัตราส่วนการมีเงินของน้ำหวานต่อน้ำตาล เป็น และอัตราส่วนการมีเงินของน้ำตาลต่อน้ำอ้อยเป็น ให้นักเรียนเปรียบเทียบอัตราส่วนการมีเงินของคนทั้งสาม
วิธีทำ
น้ำหวาน : น้ำตาล : น้ำอ้อย
อัตราส่วนแรก 3 : 4
อัตราส่วนที่สอง 2 : 5
นำ 2 คูณอัตราส่วนที่สอง 4 : 10
อัตราส่วนต่อเนื่อง 3 : 4 : 10
ตอบ อัตราส่วนการมีเงินของน้ำหวานต่อน้ำตาลต่อน้ำอ้อย คือ 3 : 4 : 10
ตัวอย่างที่ 6 หอประชุมแห่งหนึ่งมีอัตราส่วนของความกว้างต่อความยาวเป็น 5 : 8 และความสูงต่อความยาวเป็น 3 : 12 จงเขียนอัตราส่วนของความกว้างต่อความยาวต่อความสูงและอัตราส่วนของความกว้างต่อความสูงของหอประชุมนี้
วิธีทำ
อัตราส่วนของความกว้างต่อความยาว เป็น 5 : 8
อัตราส่วนของความสูงต่อความยาว เป็น 3 : 12
นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวต่อความสูง เป็น 12 : 3
จะได้ อัตราส่วนความกว้างต่อความยาว เป็น 5 : 8 = 5 x 3 : 8 x 3 = 15 : 24
อัตราส่วนความยาวต่อความสูง เป็น 12 : 3 = 12 x 2 : 3 x 2 = 24 : 6
ดังนั้น อัตราส่วนความกว้างต่อความยาวต่อความสูง เป็น 15 : 24 : 6
อัตราส่วนความกว้างต่อความสูง เป็น 15 : 6
ตอบ อัตราส่วนความกว้างต่อความยาวต่อความสูง เป็น 15 : 24 : 6
อัตราส่วนความกว้างต่อความสูง เป็น 15 : 6
สรุป
เมื่อมีอัตราส่วนสองอัตราส่วนใด ๆ ที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณของสิ่งสามสิ่งเป็นคู่ ๆ เราสามารถเขียนอัตราส่วนของจำนวนทั้งสามจำนวนจากสองอัตราส่วนเหล่านั้น ด้วยการทำปริมาณของสิ่งที่เป็นตัวร่วมในสองอัตราส่วนให้เป็นปริมาณที่เท่ากัน โดยใช้หลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากัน
คลิปวิดีโอ อัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน
คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวมวิธีการหา อัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน ไว้อย่างละเอียด ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยสาระความรู้ และเทคนิค รวมถึงการอธิบาย ตัวอย่าง และสอนวิธีคิดที่จะทำให้วิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย
