อนุกรมเลขคณิต

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต คือการนำลำดับเลขคณิตแต่ละพจน์มาบวกกัน โดย เขียนแทนด้วย $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$ จากบทความ “สัญลักษณ์การบวก” ซึ่งเป็นการลดรูปการเขียนจำนวนหลายจำนวนบวกกัน ในบทความนี้จะพูดถึงการบวกของลำดับเลขคณิต การหาผลบวก สูตรสำหรับการหาผลบวกเลขคณิต

สูตรอนุกรมเลขคณิต

สูตรของอนุกรมเลขคณิตมีอยู่ 2 สูตร ดังนี้

1) $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$ โดยที่ d คือ ผลต่างร่วม

2) $S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$ โดยจะใช้สูตรนี้ก็ต่อเมื่อรู้ค่า n

จากสูตรดังกล่างจะเห็นว่า มีความคล้ายกับสูตรลำดับเลขคณิต ดังนั้นอย่าจำสลับกันนะคะ

ตัวอย่าง

ในเรื่องของลำดับและอนุกรมนั้นโจทย์ปัญหามีหลายแบบ ถือได้ว่าเป็นอีกเรื่องหนึ่งที่มีโจทย์หลากหลาย

ก่อนที่น้อง ๆ จะเริ่มทำแบบฝึกหัด พี่อยากให้น้อง ๆ ทบทวน เรื่องลำดับเลขคณิตก่อน โดยสามารถ เข้าไปดูได้ที่ “ลำดับเลขคณิต“

หลังจากทบทวนลำดับเลขคณิตแล้ว มาเริ่มทำแบบฝึกหัดไปพร้อม ๆ กันเลย

1) จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + …

จากโจทย์ พจน์ของอนุกรมลดลงคงที่

ดังนั้นเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี d = 2

โจทย์ต้องการผลบวก 20 พจน์แรก นั่นคือ หา $S_{20}$

จากสูตร $\inline S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

จากโจทย์ $\inline a_{1}=96$ , d = -2 และ n = 20

$\inline S_{20}=\frac{20}{2}(2(96)+(20-1)(-2))$

$\inline =10(192+(-38))$

=10(154)

=1540

ตอบ ผลบวกของ 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + … มีค่าเท่ากับ 1540

ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมนั้นมีเยอะมาก และอนุกรมเลขคณิตยังสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้อีกด้วย ไปดูตัวอย่างกันเลยค่ะ

1) จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + …+ 157

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มา ได้แก่ d = 3 ,พจน์ที่ 1 $a_1=7$ และพจน์ที่ n $a_n=157$ ดังนั้นเราจะใช้สูตรที่ทราบค่าของพจน์สุดท้าย จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(7+157)$ จะเห็นว่า สิ่งที่เราไม่ทราบค่าก็คือ n นั่นเอง ดังนั้นเราจะต้องหา n มาก่อน

วิธีการหาค่า n คือ ให้ใช้สูตรของลำดับเลขคณิต และหาว่าพจน์สุดท้าย(ข้อนี้คือ 157 ) คือพจน์ที่เท่าไหร่

$a_n=157=a_1+(n-1)d=7+(n-1)(3)$

n = 51 นั่นคือ 157 ซึ่งเป็นพจน์สุดท้าย คือพจน์ที่ 51 นั่นเอง จึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้มีทั้งหมด 51 พจน์

เมื่อได้ n มาแล้ว ก็สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้แล้ว จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(7+157)=\frac{51}{2}(164)=4,182$

ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้คือ 4,182

2) จงหาผลบวกจำนวนคู่ตั้งแต่ 18 ถึง 482

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาผลบวกของจำนวนคู่ ดังนั้นสามารถเขียนได้เป็น $S_n$ =18 + 20 + 22 + … + 482

จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มาได้แก่ d = 2 , $a_1=18$ และ $a_n=482$ เราจะใช้สูตรที่มีพจน์สุดท้าย จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(18+482)$

หา n โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_n=482=18+(n-1)(2)$

n = 233

ดังนั้น จะได้ $S_n=\frac{n}{2}(18+482)=\frac{233}{2}(500)=58,250$

3) หอประชุมของโรงเรียนแห่งหนึ่งจัดเก้าอี้ให้มีเก้าอี้แถวแรก 12 ตัว แถวที่สองมี 14 ตัว แถวที่สามมี 16 ตัว เป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ ถ้าหอประชุมจัดกเ้าอี้ไว้ทั้งหมด 15 แถว จงหาว่ามีเก้าอี้ในหอประชุมทั้งหมดกี่ตัว

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาว่ามีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัว ดังนั้นเราจะเอาเก้าอี้แต่ละแถวบวกกันทั้งหมด 15 แถว จะได้ว่า

จำนวนเก้าอี้ทั้งหมด = 12 + 14 + 16 + … บวกไปเรื่อยๆจนถึงแถวที่ 15 นั่นหมายความว่า n = 15 นั่นเอง แต่เนื่องจากตอนนี้เราไม่รู้ว่าแถวที่ 15 มีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัวซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายนั่นเอง

และจากอนุกรมจะเห็นว่า d = 2 , $a_1=12$

ดังนั้นจะใช้สูตรที่ไม่มีทราบค่าพจน์สุดท้าย จะได้

$S_{15}=\frac{15}{2}(2(12)+(15-1)(2))=390$

ดังนั้น มีเก้าอี้ทั้งหมด 390 ตัว

4) พี่มีนยืมเงินจากน้องมิว 630 บาท และตกลงกันว่าจะจ่ายเงินคืนน้องทุกวันโดยวันแรกจะคืนให้ 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให้ 12 บาท และวันต่อๆไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันก่อนหน้าวันละ 2 บาททุกวัน จำนวนวันที่พี่มีนจะจ่ายเงินคืนให้น้องมิวได้ครบพอดีเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์จ่ายเงินคืนวันแรก 10 บาท วันถัดไปจ่ายเงินมากกว่าวันก่อนหน้า 2 บาท และจ่ายจนครบ 630 บาท สามารถเขียนเป็นอนุกรมได้ดังนี้

630 = 10 + 12 + 14 + … บวกไปเรื่อยๆจนรวมกันได้ทั้งหมด 630 บาท และโจทย์ถามว่าใช้เวลากี่วันถึงจะจ่ายเงินครบพอดีนั่นคือ ถามหา n ที่ทำให้ผลบวกนี้เท่ากับ 630

สิ่งที่โจทย์ให้มา คือ $S_n=630$ , $a_1=10$ และ d = 2 และเนื่องจากว่าเราไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายจึงจะใช้สูตรของอนุกรม $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

จะเห็นว่ามีค่าที่ต้องใช้ในสูตรหมดแล้ว ดังนั้นก็เหลือแค่แทนค่าและหาค่า n เท่านั้น จะได้ว่า

$630=\frac{n}{2}(2(10)+(n-1)(2))$

n = -30 , 21 แต่เนื่องจาก n ในที่นี้หมายถึงจำนวนวันจึงไม่สามารถติดลบได้ และโดยทั่วไป n หมายถึงจำนวนพจน์ดังนั้น n จะต้องเป็นจำนวนนับ

ดังนั้น ใช้เวลาทั้ง 21 วันจึงจะคืบเงินครบ 630 บาท

5) ถ้า $S_n = n^2-4n$ เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มี $a_n$ เป็นพจน์ที่ n และ d เป็นผลต่างร่วมแล้ว $d+a_1a_2$ เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์ ให้รูปแบบของ $S_n$ มา ดังนั้นเราจะมาลองแทนค่า

จาก $S_n = n^2-4n$ จะได้ว่า

$S_1=1^2-4(1)=-3$

และจาก $S_1=a_1$ จะได้ว่า $a_1=-3$

พิจารณา $S_2=2^2-4(2)=-4$

และจากที่เรารู้ว่าสูตรการหาอนุกรมเลขคณิตโดยทั่วไปแล้วคือ $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$S_{2}=\frac{2}{2}(2(-3)+(2-1)d)=-4$

พอเราแก้สมการก็จะได่ d = 2

ดังนั้นตอนนี้เรารู้ค่า d และ $a_1$ แล้ว ดังนั้นเราจะมาหาพจน์ที่ 2 ต่อ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_2=a_1+d=-3+2=-1$

ตอนนี้เรามีค่าของพจน์ที่ 1 และ2 และค่าของ d แล้ว ดังนั้นเราสามารถหาค่าที่โจทย์ถามได้แล้ว จะได้เป็น

$d+a_1a_2=2+(-3)(-1)=5$

สรุป จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าอนุกรมเลขคณิตนั้นสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้และทำให้การคิดเลขนั้นสะดวกสบายขึ้นด้วย แต่ทั้งนี้น้องๆจะต้องไม่ลืมสูตรของลำดับเลขคณิตนะคะ เพราะเราจะเห็นว่าถึงแม้จะเป็นเรื่องอนุกรมเลขคณิตเราก็ยังได้ใช้ความรู้เรื่องลำดับเลขคณิตมาช่วยอยู่ ดังนั้นน้องๆอย่าลืมไปทวบทวนเรื่องลำดับเลขคณิตกันด้วยนะคะ

วิดีโอเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต

น้องๆสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตได้ที่คลิปด้านล่างนี้เลยค่ะ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

เห็นแก่ลูก ศึกษาความเป็นมาบทละครพูดเรื่องแรกของไทย

บทละครพูด เห็นแก่ลูก เป็นวรรณคดีเรื่องแรกที่น้อง ๆ ม.3 ทุกคนจะได้เรียน ความพิเศษของวรรณคดีไทยเรื่องนี้คือเป็นบทละครพูดเรื่องแรกของไทยอีกทั้งยังได้รับการแปลไปยันต่างประเทศอีก 13 ภาษา วรรณคดีเรื่องนี้มีความสำคัญและมีเนื้อหาเกี่ยวกับอะไร ถึงโด่งดัง เป็นที่รู้จัก และได้มาอยู่ในแบบเรียนภาษาไทย ถ้าพร้อมแล้วเราไปศึกษาประวัติความเป็นมาของวรรณคดีเรื่องนี้กันเลยค่ะ ความเป็นมา บทละครพูด เห็นแก่ลูก บทละครพูด เห็นแก่ลูก เป็นพระราชนิพนธ์ในพระบาทสมเด็จพระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว ทรงใช้พระนามแฝงว่าพระขรรค์เพชร

เสียงพยัญชนะไทย ออกเสียงอย่างไรให้ถูกต้อง

เชื่อว่าน้อง ๆ หลายคงเคยสงสัยเรื่องการออกเสียงพยัญชนะไทยกันไม่มากก็น้อย เพราะพยัญชนะในภาษาไทยของเรานั้นมีด้วยกัน 44 ตัว แต่กลับมีหน่วยเสียงเพียงครึ่งเดียวเท่านั้น ทำไมการออกเสียงพยัญชนะไทยถึงไม่สามารถออกเสียงตามรูปอักษรทั้ง 44 รูปได้? ไหนจะพยัญชนะท้ายที่เขียนอีกอย่างแต่ดันออกเสียงไปอีกอย่าง บทเรียนในวันนี้จะช่วยไขข้อข้องใจให้กับน้อง ๆ หรือคนที่กำลังสับสนเรื่องการออกเสียงพยัญชนะไทย ให้กระจ่างและสามารถออกเสียงได้อย่างถูกต้อง ดังนั้น เราไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ เสียงพยัญชนะไทย เสียงพยัญชนะ คือ

จำนวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ

จำนวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ บทความนี้จะทำให้น้องๆ รู้จัก จำนวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ น้องๆหลายคนคุ้นเคยกับจำนวนเฉพาะมาบ้างแล้ว แต่น้องๆทราบหรือไม่ว่า ตัวประกอบเฉพาะคืออะไร ซึ่งน้องๆจะได้เรียนรู้จากตัวอย่างที่ได้รวบรวมไว้ในบทความนี้ โดยได้นำเสนออกมาในรูปแบที่เข้าใจง่าย ทำให้น้องๆสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ซึ่งเนื้อหาในบทความนี้เป็นเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ก่อนอื่นเรามาทำความเข้าใจกับความหมายของ ตัวประกอบ ตัวประกอบของจำนวนเต็มใด ๆ คือ จำนวนที่หารจำนวนนั้นได้ลงตัว ถ้าจำนวนที่ 2 หารได้ลงตัว เรียกว่า จำนวนคู่ ส่วนจำนวนที่

การใช้ประโยคคำสั่ง คำขอร้อง และคำแนะนำง่ายๆ

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้ครูจะพาเรียนรู้เกี่ยวกับ การใช้ประโยคคำสั่ง คำขอร้อง และคำแนะนำง่ายๆ “Easy Imperative Sentences” กันนะคะ ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย รูปแบบและโครงสร้างประโยคคำสั่ง Imperative sentence Imperative sentence ในรูปแบบประโยคบอกเล่าจะ ใช้ Verb base form (V.1)

เรียนรู้เรื่อง ส่วนประกอบของประโยค

ประโยค คือถ้อยคำต่าง ๆ ที่นำมาเรียงกันแล้วมีใจความสมบูรณ์ว่าใครกำลังทำอะไร ที่ไหน และเมื่อไหร่ บทเรียนในวันนี้ น้อง ๆ จะได้เรียนรู้เรื่อง ส่วนประกอบของประโยค เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นว่าประโยคที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง ไปเรียนรู้พร้อมกันเลยค่ะ ส่วนประกอบของประโยค โดยทั่วไปประโยคจะมีอยู่ด้วยกัน 2 ภาค คือ ภาคประธานและภาคแสดง ภาคประธาน คือ

การใช้ Tenses : Present Simple Tense/ Present Continuous Tense

สวัสดีนักเรียนชั้นม.2 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปดู “การใช้ Tenses : Present simple/ Present Continuous” พร้อมทั้งตัวอย่างสถานการณ์ใกล้ตัว หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย ทบทวน Present Simple Tense ความหมาย: Present แปลว่า ปัจจุบัน ดังนั้น Present

อนุกรมเลขคณิต

สารบัญ

อนุกรมเลขคณิต

ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

วิดีโอเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

เห็นแก่ลูก ศึกษาความเป็นมาบทละครพูดเรื่องแรกของไทย

เสียงพยัญชนะไทย ออกเสียงอย่างไรให้ถูกต้อง

จำนวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ

การใช้ประโยคคำสั่ง คำขอร้อง และคำแนะนำง่ายๆ

เรียนรู้เรื่อง ส่วนประกอบของประโยค

การใช้ Tenses : Present Simple Tense/ Present Continuous Tense

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1