ลำดับเรขาคณิต

supanaree

คณิตศาสรตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่เป็นจำนวนเท่า ซึ่งจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม เขียนแทนด้วย r

โดยที่ r = พจน์ขวาหารด้วยพจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย $ลำดับเลขคณิต$ โดยที่ $a_n$ คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

ตัวอย่างของลำดับเรขาคณิต

2, 4, 8, 16, 32, …

จะได้ว่า อัตราส่วน $a_{2}$ ต่อ $a_{1}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$

อัตราส่วน $a_{3}$ ต่อ $a_{2}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{8}{4}=2$

$\therefore2$ คือ อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตข้างต้น

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

การหาพจน์ทั่วไป ก็คือการหาค่าของพจน์สุดท้ายหรือ $a_n$ นั่นเอง

ทำไมเราถึงต้องรู้วิธีหาพจน์ทั่วไปล่ะ??? เพราะว่าถ้าน้องๆรู้พจน์ทั่วไปแล้ว น้องอยากได้ค่าของพจน์ไหนน้องก็สามารถแทน n เข้าไปได้เลยนั่นเอง

พิจารณา พจน์ที่1 : $n=1\rightarrow a_{1}=a_{1}$

พจน์ที่2 : $n=2\rightarrow a_{2}=a_{1}r$

พจน์ที่3 : $n=3\rightarrow a_{3}=a_{2}r=a_{1}r^{2}$

$\vdots$

พจน์ที่n $\rightarrow a_{n}=a_{n-1}r$

$ลำดับเรขาคณิต$

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ

$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

ถ้า r = 1 จะได้ว่า $a_n=a_1$ นั่นคือ ทุกพจน์ของลำดับจะมีค่าเท่ากัน เราจะเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับคงตัว

เช่น ลำดับของ 2, 2, 2, 2, …, 2

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน $a_5=a_1r^{(n-1)}$ จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ r จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ r มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

เราลองมาดูโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิตกันค่ะ

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

1) หาพจน์ที่ 20 ของ 1, 4, 16, …

วิธีทำ

โจทย์ต้องการพจน์ที่ 20 นั่นคือ $a_{20}=a_1r^{19}$

จากโจทย์ สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_{1}=1$ และ อัตราส่วนร่วม $r=\frac{4}{1}=4$

ดังนั้นจะได้

$a_{20}=a_{1}r^{19}=1(4)^{19}=4^{19}$

2) ลำดับเรขาคณิตมี $a_{1}=\frac{1}{4}$ , $a_{7}=8$ จงหา $a_{13}$

วิธีทำ โจทย์ต้องการหา $a_{13}=a_1r^{12}$

สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ $a_7$

จะได้ว่า

$a_{7}=a_{1}r^{6}=8$

$\frac{1}{4}(r^{6})=8$

$r^{6} = 32$

$r=\sqrt[6]{32}$

จากที่เราได้ r มาแล้ว เราสามารถหาพจน์ที่ 13 ได้แล้ว จะได้ว่า

$a_{12}=a_{1}r^{12}$

. $=\frac{1}{4}(\sqrt[6]{32})^{12}$

. $=\frac{1}{4}(32)(32)$

. =8(32)

. = 256

ดังนั้น $a_{13} = 256$

3) ให้ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีอัตราส่วนร่วมเป็น -2 ถ้า $a_{4}=4$ แล้ว $a_{1}$ มีค่าเท่าใด

วิธีทำ

จากโจทย์ r = -2 และ

$a_{4}=4=a_{1}(-2)^{3}$

$4=a_{1}(-8)$

$a_{1}=-\frac{1}{2}$

4) ลำดับ 2, 10, 50, … , 1250 มีกี่พจน์

วิธีทำ โจทย์ต้องการทราบว่ามีกี่พจน์ นั่นคือ ต้องการทราบค่า n

สิ่งที่โจทย์ให้มา

จากโจทย์ $\inline a_{1}=2$ และ $r = \frac{10}{2} = 5$

หา n โดยที่ $a_{n}=1250=a_{1}r^{n-1}$

$1250=2(n)^{n-1}$

$5^{n-1}=625$

$5^{n-1}=5^{4}$

$\therefore n-1=4\rightarrow n=5$

ดังนั้น ลำดับข้างต้นมี 5 พจน์

5.) กำหนดให้ 32, x, y, 4 เป็นลำดับเรขาคณิต จงหาค่า x + y

วิธีทำ จากโจทย์ สิ่งที่โจทย์ให้มาคือค่าของพจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 4 หรือพจน์สุดท้ายนั่นเอง

การที่เราจะหาค่า x และ y ได้นั้น เราต้องหาค่า r หรืออัตราส่วนร่วม และค่าของพจน์ที่ 1 ซึ่งโจทย์ให้มาอยู่แล้ว

ดังนั้นเราจะหา r จากพจน์สุดท้าย จะได้ว่า

$4=32r^3$

$r^3= \frac{4}{32}$

$r^3=\frac{1}{8}$

$r=\frac{1}{2}$

หลังจากที่เราได้ค่า r มาแล้วเราจะสามารถหาพจน์ที่ 2และ 3 ได้แล้ว

นั่นคือ x = $32(\frac{1}{2})=16$ และ y = $16(\frac{1}{2})=8$

โจทย์ต้องการ x + y ดังนั้น จะได้ x + y = 16 + 8 = 24

6.) ให้ sinθ, tanθ, tanθ·secθ, … เป็นลำดับเรขาคณิต แล้วพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิตนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ สิ่งที่โจทย์ต้องการคือ $a_{10}=a_1r^9$

สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1=\mathrm{sin\theta }$ และ $r={\frac{tan\theta}{sin\theta }=\frac{\frac{sin\theta}{cos\theta}}{sin\theta}= \frac{1}{cos\theta}=sec\theta}$

หาพจน์ที่ 10

$a_{10}=sin\theta sec^9\theta$

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต ในรูปของโจทย์ปัญหา

1.) เด็ก 3 คน มีอายุ 1, 5, 13 ปี จงหาว่าอีกกี่ปี อายุของเด็กทั้งสามจะเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

วิธีทำ

ให้ x แทนจำนวนปีที่จะทำให้อายุของเด็กทั้งสามเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ว่า 1+x, 5+x, 13+x เป็นลำดับเรขาคณิต

หา x

จากที่เรารู้ว่า r คือ พจน์ขวาหารด้วยพจน์ซ้าย และเป็นค่าคงที่ จะได้ว่า

$\frac{5+x}{1+x}=\frac{13+x}{5+x}$

(5+x)² = (1+x)(13+x)

25+10x+x² = 13 + 14x + x²

4x = 12

x = 3

ดังนั้น อีก 3 ปี เด็กสามคนจะมีอายุเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

2.) ถังใบหนึ่งบรรจุน้ำมัน 240 ลิตร ตักน้ำมันออก $\frac{1}{4}$ ลิตรของปริมาณน้ำมันที่เหลืออยู่ อยากทราบว่าถ้าตักครบ 6 ครั้งแล้วจะเหลือน้ำมันกี่ลิตร

วิธีทำ โจทย์ถามน้ำมันที่เหลืออยู่ดังนั้น ถ้าตักออก $\frac{1}{4}$ ก็จะเหลือน้ำมัน $\frac{3}{4}$ ของน้ำมันที่เหลืออยู่ก่อนหน้า นั่นคือ

เดิมมีน้ำมัน 240 ลิตร

ตักออกครั้งที่1 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})$

ตักออกครั้งที่ 2 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})^{2}$

ตักออกครั้งที่3 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})^{3}$

นำมาเขียนเป็นลำดับเรขาคณิตได้ดังนี้

240, $240(\frac{3}{4})$ , $240(\frac{3}{4})^{2}$ , $240(\frac{3}{4})^{3}$ , …

จากลำดับจะเห็นว่า $a_1=240$ และ $r=\frac{3}{4}$

ดังนั้นถ้าตักออก6 ครั้งก็คือ หา $a_7$

$a_7=240(\frac{3}{4})^6$

3.) ลูกบอลตกจากที่สูง 30 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกบอลตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นไป $\frac{4}{5}$ ของระยะทางที่ลูกบอลตกลงมา จงหาความสูงของลูกบอลจากพื้นเมื่อลูกบอลตกกระทบพื้นครั้งที่ 5

วิธีทำ จากโจทย์

ความสูงของบอลตอนยังไม่ตก คือ 30 ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่1 คือ 30( $\frac{4}{5}$ ) ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่2 คือ 30( $\frac{4}{5}$ )² ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่3 คือ 30( $\frac{4}{5}$ )³ ฟุต

เขียนเป็นลำดับเรขาคณิตได้ดังนี้

30, 30( $\frac{4}{5}$ ), 30( $\frac{4}{5}$ )², 30( $\frac{4}{5}$ )³, …

จะได้ว่า $a_1 = 30$ และ $r=\frac{4}{5}$

จากโจทย์ต้องการความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่ 5 นั่นคือ หา $a_6$

หา $a_6$ จากสิ่งที่โจทย์ให้มาและสูตรลำดับเรขาคณิต จะได้

$a_6=30(\frac{4}{5})^5=30(\frac{1024}{3125})=\frac{30720}{3125}\approx 9.83$

ดังนั้น ความสูงของลูกบอลเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่ 5 มีคา่ประมาณ 9.83 ฟุต

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลำดับเรขาคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ขั้นตอนของการแก้โจทย์ปัญหา บทความนี้จะทำให้น้องๆ มีความรู้ความเข้าใจในเรื่อง โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งได้รวบรวมตัวอย่างไว้อย่างหลากหลาย แต่ก่อนที่น้องๆจะเรียนเรื่องนี้อย่าลืมทบทวน การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว กันก่อนนะคะ ถ้าน้องๆพร้อมแล้วเรามาศึกษาขั้นตอนของการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการ ดังนี้ ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์ว่ากำหนดอะไรให้บ้าง และให้หาอะไร ขั้นที่ 2 กำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้หาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หา ขั้นที่ 3 เขียนสมการตามเงื่อนไขของโจทย์ ขั้นที่

สับเซตและเพาเวอร์เซต

บทความนี้จะเป็นเนื้อหาเกี่ยวกับสับเซต เพาเวอร์เซต ซึ่งเป็นเนื้อหาที่สำคัญ หลังจากที่น้องๆอ่านบทความนี้จบแล้ว น้องๆจะสามารถบอกได้ว่า เซตใดเป็นสับเซตของเซตใดและสามารถบอกได้ว่าสมาชิกของเพาเวอร์เซตมีอะไรบ้าง

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง เป็นการส่งสมาชิกจากของเซตหนึ่งเรียกเซตนั้นว่าโดเมน ส่งไปให้สมาชิกอีกเซตหนึ่งเซตนั้นเรียกว่าเรนจ์ จากบทความก่อนหน้าเราได้พูดถึงฟังก์ชันและการส่งสมาชิกในเซตไปแล้วบางส่วน ในบทความนี้เราจะได้ทำความเข้าใจเกี่ยวกับฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่งมากขึ้น จากที่เรารู้ว่าเซตของคู่อันดับเซตหนึ่งจะเป็นฟังก์ชันได้นั้น สมาชิกตัวหน้าต้องไปเหมือนกัน แต่ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่งเป็นการกำหนดขอบเขตให้ฟังก์ชันนั้นแคปลงกว่าเดิม เช่น {(1, a), (2, b), (3, a), (4, c)} จากเซตของคู่อันดับเราสมารถตอบได้เลยว่าเป็นฟังก์ชัน เพราะสมาชิกตัวหน้าไม่เหมือนกัน แต่ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง คือการที่เรามีเซต 2 เซต แล้วเราส่งสมาชิกในเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

ส่วนต่างๆ ของวงกลม

ส่วนต่างๆ ของวงกลม ก่อนที่เราจะมารู้จักส่วนต่างๆ ของวงกลม เรามาเริ่มรู้จักวงกลมกันก่อน จากคำนิยามของวงกลมที่กล่าวว่า “วงกลมเกิดจากชุดของจุดที่มาเรียงต่อกันบนระนาบเดียวกัน โดยทุกจุดอยู่ห่างจากจุดจุดหนึ่งซึ่งเป็นจุดคงที่ในระยะทางที่เท่ากันทุกจุด” โดยเรียกจุดคงที่นี้ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม เรียกระยะทางที่เท่ากันนี้ว่า รัศมีของวงกลม วงกลม คือ รูปทรงเรขาคณิตที่มีสองมิติเเละจะมีมุมภายในของวงกลมที่มีขนาด 360 องศา โดยทั่วไปในชีวิตประจำวัน เราจะเห็นสิ่งที่มีลักษณะเป็นวงกลมอยู่รอบ ๆ ตัวเราอยู่เยอะเเยะมากมาย

การใช้ตัวเชื่อม (Connective words): First,… Second,… Third,… Fourth,… Finally,…

การใช้ตัวเชื่อม (Connective words) สวัสดีค่ะนักเรียน ม.2 ทุกคน วันนี้ครูมีเทคนิคที่จะทำให้ทุกคนนำไปปรับใช้กับงานเขียนด้วย การใช้ตัวเชื่อม (connective words) ในภาษาอังกฤษกันค่ะ โดยปรกติแล้วงานเขียนแบ่งออกออกเป็นสองรูปแบบหลักๆคือ เรียงความ (Essay Writing) กับ พารากราฟ (Paragraph Writing) ขอสรุปสั้นๆง่ายๆ ให้ทุกคนเข้าใจว่า Essay คือเรียงความเพราะฉะนั้นจะยาวกว่า Paragraph ที่เป็นเพียงย่อหน้าหนึ่งเท่านั้นนั่นเองค่ะ

การใช้ Yes/No Questions และ Wh-Questions

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.3 ทุกคน วันนี้ครูจะพาไปตะลุยตัวอย่างและวิธีการแต่งประโยคคำถาม 2กลุ่ม ได้แก่ “การใช้ Yes/No Questions และ Wh-Questions” หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจร้า Yes/No Questions คืออะไร? Yes/ No Questions ก็คือ กลุ่มคำถามที่ต้องการคำตอบแน่ชัดว่า Yes ใช่ หรือ

ลำดับเรขาคณิต

สารบัญ

ลำดับเรขาคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต ในรูปของโจทย์ปัญหา

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลำดับเรขาคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สับเซตและเพาเวอร์เซต

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

ส่วนต่างๆ ของวงกลม

การใช้ตัวเชื่อม (Connective words): First,… Second,… Third,… Fourth,… Finally,…

การใช้ Yes/No Questions และ Wh-Questions

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1