ฟังก์ชันผกผัน

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน หรืออินเวอร์สฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย f^{-1} เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน

จากที่เรารู้กันว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชันก็สามารถหาตัวผกผันได้เช่นกัน แต่ตัวผกผันนั้นไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

เพราะอะไรถึงไม่จำเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน เราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ให้ f = {(1, 2), (3, 2), (4, 5),(6, 5)}  จะเห็นว่า f เป็นฟังก์ชัน

พิจารณาตัวผกผันของ f เท่ากับ {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (5, 6)}  จากนิยามของฟังก์ชัน ถ้าตัวหน้าเท่ากันแล้วตัวหลังจะต้องเท่ากัน ทำให้ได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างตัวผกผันของฟังก์ชัน

หาฟังก์ชันผกผันของ  เมื่อ

1.) f(x) = \frac{1}{x-2}

ให้ f(x) = y

ขั้นตอนที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x=\frac{1}{y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้  ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น  = \frac{1}{x}+2  เมื่อ x ≠ 0 (เพราะถ้า x =0จะหาค่าไม่ได้)

2.) f(x) = \sqrt{x+3}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \sqrt{y+3}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ 

ดังนั้น f^{-1}(x) = x^2-3

 

3.) f(x) = \frac{2x-3}{3x-2}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \frac{2y-3}{3y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{3x-2}  เมื่อ x ≠  \frac{2}{3}

 

ให้ f(x) = 3x + 5 จงหา

4.) f^{-1}(3)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย 3

จะได้  f^{-1}(3) = \frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}

 

5.) f^{-1}(-1)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย -1

จะได้  f^{-1}(-1) = \frac{5-(-1)}{3}=\frac{5+1}{3}=\frac{6}{3}=2

 

การตรวจสอบว่าตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชันหรือไม่

การตรวจสอบทำได้ 2 วิธี คือ

  1. หาตัวผกผันมาก่อนแล้วเช็คว่าตัวผกผันนั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่
  2. หาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ขยายความทฤษฎีบท

ฟังก์ชันผกผันเรามีข้อความอยู่สองข้อความ ที่มีตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อขั้นกลางอยู่

ถ้าเรารู้ว่าฝั่งใดฝั่งหนึ่งจริง เราสามารถสรุปข้อความอีกฝั่งหนึ่งได้เลย

เช่น ถ้าเรารู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน เราก็จะรู้ด้วยว่า f เป็นฟังก์ชัน

ในขณะเดียวกัน ถ้าเรารู้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราก็จะรู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน

 

แต่ ถ้าเรารู้ว่าข้อความฝั่งหนึ่งไม่จริง เราก็สามารถสรุปได้เช่นกันว่า ข้อความอีกฝั่งก็ไม่จริง

เช่น เรารู้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เลยว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้าเรารู้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างการตรวจสอบ ฟังก์ชันผกผัน

 

ให้ f เป็นฟังก์ชัน ที่ f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

วิธีทำ 1 จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะได้ว่า f^{-1}  = {(y, x ) : y, x ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

หรือเขียนได้อีกแบบคือ f^{-1} = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ x = 2y + 3}  << ตรงสมการ เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะตรวจสอบว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยสมมติคู่อันดับมาสองคู่ ให้เป็น (x_1, y_1),(x_1,y_2) ซึ่งทั้งสองคู่อันดับนี้ เป็นคู่อันดับใน f^{-1}

ดังนั้นเราสามารถแทน คู่อันดับทั้งสองไปในสมการ x = 2y + 3 ได้

ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันจะได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันเพราะ เมื่อสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเหมือนกันสมาชิกตัวหลังก็เหมือนกันด้วย

วิธีที่ 2  จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่เพื่อนำมาสรุปการเป็นฟังก์ชันของf^{-1} 

สมมติให้ (x_1,y_1),(x_2,y_1) เป็นคู่อันดับใน f 

ดังนั้นเราสามารถแทนคู่อันดับทั้งสองคู่อันดับในสมการ y = 2x + 3 ได้

ได้เป็น ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเมื่อเราให้สมาชิกตัวหลังเท่ากันแล้วเราได้ว่าสมาชิกตัวหน้าก็เท่ากัน

และ จาก f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเลยทำให้สรุปได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชัน

 

จากวิธีทั้งสองวิธี น้องๆสามารถเลือกวิธีตรวจสอบที่ตัวเองถนัดได้เลย ได้คำตอบเหมือนกันจ้า

 

เนื้อหาที่ควรรู้เพื่อง่ายต่อการทำความเข้าใจ

 

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

กาพย์ห่อโคลงประพาสธารทองแดง

กาพย์ห่อโคลงประพาสธารทองแดง ที่มาของวรรณคดีเชิงสารคดี

กาพย์ห่อโคลงประพาสธารทองแดง มีมาตั้งแต่สมัยอยุธยา เป็นวรรณคดีที่สำคัญในฐานะสารคดี เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น บทเรียนในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปหาคำตอบของวรรณคดีเรื่องดังกล่าวว่ามีประวัติความเป็นมาอย่างไร ใครเป็นผู้แต่ง พร้อมเรียนรู้ความหมายของกาพย์ห่อโคลงและเนื้อเรื่องโดยสรุปของเรื่องด้วย ไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ   ความเป็นมาของ กาพย์ห่อโคลงประพาสธารทองแดง     กาพย์ห่อโคลงประพาสธารทองแดงเป็นบทชมธรรมชาติที่แต่งเพื่อความเพลิดเพลินระหว่างการเดินทางของกระบวนเสด็จทางสถลมารคจากท่าเจ้าสนุกถึงธารทองแดง ซึ่งธารทองแดงในที่นี้ เป็นชื่อลำน้ำที่เขาพระพุทธบาท ซึ่งเป็นบริเวณที่ตั้งของพระตำหนักธารเกษมที่มีมาตั้งแต่สมัยสมเด็จพระเจ้าปราสาททอง โดยเจ้าฟ้าธรรมธิเบศรทรงพระนิพนธ์วรรณคดีเรื่องนี้ขึ้นเมื่อครั้งตามเสด็จสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวบรมโกศไปนมัสการพระพุทธบาท ที่จังหวัดสระบุรี   ประวัติเจ้าฟ้าธรรมธิเบศร   เจ้าฟ้าธรรมธิเบศร

วิธีใช้คำราชาศัพท์ ใช้อย่างไรให้เหมาะสม

ราชาศัพท์ เป็นถ้อยคำที่ใช้พูดกับพระมหากษัตริย์และพระบรมวงศานุวงศ์ ข้าราชการชั้นผู้ใหญ่ พระภิกษุสงฆ์ รวมถึงคำสุภาพที่ใช้กับคนทั่วไป การใช้คำราชาศัพท์ เป็นเรื่องที่มีปัญหาอยู่มาก เพราะการใช้ที่ไม่ถูกต้อง บทเรียนที่เราจะได้เรียนรู้กันในวันนี้น้อง ๆ จะได้เรียนรู้เกี่ยวกับ วิธีใช้คำราชาศัพท์ สำหรับพระมหากษัตริย์และพระบรมวงศานุวงศ์ ทั้งคำนาม และคำสรรพนาม ว่าเราควรแทนตัวเองหรือพระองค์อย่างไรให้ถูกต้อง ถ้าอยากรู้แล้ว ไปดูพร้อมกันเลยค่ะ   ลักษณะการใช้คำราชาศัพท์   คำราชาศัพท์มีไว้ใช้สำหรับคนธรรมดาทั่วไปพูดกับผู้ที่มีศักดิ์สูงกว่าอย่าง กษัตริย์ พระราชินี และพระบรมวงศานุวงศ์

โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ขั้นตอนของการแก้โจทย์ปัญหา บทความนี้จะทำให้น้องๆ มีความรู้ความเข้าใจในเรื่อง โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งได้รวบรวมตัวอย่างไว้อย่างหลากหลาย แต่ก่อนที่น้องๆจะเรียนเรื่องนี้อย่าลืมทบทวน การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว กันก่อนนะคะ ถ้าน้องๆพร้อมแล้วเรามาศึกษาขั้นตอนของการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการ ดังนี้               ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์ว่ากำหนดอะไรให้บ้าง และให้หาอะไร               ขั้นที่ 2 กำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้หาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หา               ขั้นที่ 3 เขียนสมการตามเงื่อนไขของโจทย์               ขั้นที่

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้กราฟ

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้กราฟ

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้กราฟ บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้กราฟ ทำได้โดยนำตัวเลขแทนค่าตัวแปร แล้วจะได้กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเป็นกราฟเส้นตรง สังเกตกราฟที่ได้ว่าตัดกัน ขนานกัน หรือทับกัน ลักษณะกราฟจะบอกคำตอบของระบบสมการ ซึ่งก่อนที่จะเรียนเรื่องนี้ น้องๆสามารถศึกษาเรื่อง กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่  ⇒⇒ กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ⇐⇐ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร  คือ สมการที่มีตัวแปรสองตัว  เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณกันของตัวแปร  เช่น 2x +

การใช้ตัวเชื่อม (Connective words): First,… Second,… Third,… Fourth,… Finally,…

 การใช้ตัวเชื่อม (Connective words) สวัสดีค่ะนักเรียน ม.2 ทุกคน วันนี้ครูมีเทคนิคที่จะทำให้ทุกคนนำไปปรับใช้กับงานเขียนด้วย  การใช้ตัวเชื่อม (connective words) ในภาษาอังกฤษกันค่ะ โดยปรกติแล้วงานเขียนแบ่งออกออกเป็นสองรูปแบบหลักๆคือ เรียงความ (Essay Writing) กับ พารากราฟ (Paragraph Writing) ขอสรุปสั้นๆง่ายๆ ให้ทุกคนเข้าใจว่า Essay คือเรียงความเพราะฉะนั้นจะยาวกว่า Paragraph ที่เป็นเพียงย่อหน้าหนึ่งเท่านั้นนั่นเองค่ะ 

NokAcademy_ม2 การใช้ Future Simple กับการตั้งคำถามด้วย Wh-Questions

การใช้ Future Simple กับการตั้งคำถามด้วย Wh-Questions

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ทุกคน วันนี้ครูจะพาไปตะลุย “การใช้  Future Simple กับการตั้งคำถามด้วย Wh-Questions” หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจร้า Future Simple Tense     Future Simple Tense หรือ ประโยคอนาคตกาล เอาไว้พูดถึงเรื่องราวในอนาคต เช่น สิ่งที่ยังไม่เกิดขึ้น สิ่งที่จะเกิดขึ้น สิ่งที่จะทำ เป็นต้น

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1