Menu

ฟังก์ชันผกผัน

Picture of supanaree
supanaree

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน หรืออินเวอร์สฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย f^{-1} เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน

จากที่เรารู้กันว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชันก็สามารถหาตัวผกผันได้เช่นกัน แต่ตัวผกผันนั้นไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

เพราะอะไรถึงไม่จำเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน เราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ให้ f = {(1, 2), (3, 2), (4, 5),(6, 5)}  จะเห็นว่า f เป็นฟังก์ชัน

พิจารณาตัวผกผันของ f เท่ากับ {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (5, 6)}  จากนิยามของฟังก์ชัน ถ้าตัวหน้าเท่ากันแล้วตัวหลังจะต้องเท่ากัน ทำให้ได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างตัวผกผันของฟังก์ชัน

หาฟังก์ชันผกผันของ  เมื่อ

1.) f(x) = \frac{1}{x-2}

ให้ f(x) = y

ขั้นตอนที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x=\frac{1}{y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้  ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น  = \frac{1}{x}+2  เมื่อ x ≠ 0 (เพราะถ้า x =0จะหาค่าไม่ได้)

2.) f(x) = \sqrt{x+3}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \sqrt{y+3}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ 

ดังนั้น f^{-1}(x) = x^2-3

 

3.) f(x) = \frac{2x-3}{3x-2}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \frac{2y-3}{3y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{3x-2}  เมื่อ x ≠  \frac{2}{3}

 

ให้ f(x) = 3x + 5 จงหา

4.) f^{-1}(3)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย 3

จะได้  f^{-1}(3) = \frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}

 

5.) f^{-1}(-1)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย -1

จะได้  f^{-1}(-1) = \frac{5-(-1)}{3}=\frac{5+1}{3}=\frac{6}{3}=2

 

การตรวจสอบว่าตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชันหรือไม่

การตรวจสอบทำได้ 2 วิธี คือ

  1. หาตัวผกผันมาก่อนแล้วเช็คว่าตัวผกผันนั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่
  2. หาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ขยายความทฤษฎีบท

ฟังก์ชันผกผันเรามีข้อความอยู่สองข้อความ ที่มีตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อขั้นกลางอยู่

ถ้าเรารู้ว่าฝั่งใดฝั่งหนึ่งจริง เราสามารถสรุปข้อความอีกฝั่งหนึ่งได้เลย

เช่น ถ้าเรารู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน เราก็จะรู้ด้วยว่า f เป็นฟังก์ชัน

ในขณะเดียวกัน ถ้าเรารู้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราก็จะรู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน

 

แต่ ถ้าเรารู้ว่าข้อความฝั่งหนึ่งไม่จริง เราก็สามารถสรุปได้เช่นกันว่า ข้อความอีกฝั่งก็ไม่จริง

เช่น เรารู้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เลยว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้าเรารู้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างการตรวจสอบ ฟังก์ชันผกผัน

 

ให้ f เป็นฟังก์ชัน ที่ f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

วิธีทำ 1 จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะได้ว่า f^{-1}  = {(y, x ) : y, x ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

หรือเขียนได้อีกแบบคือ f^{-1} = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ x = 2y + 3}  << ตรงสมการ เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะตรวจสอบว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยสมมติคู่อันดับมาสองคู่ ให้เป็น (x_1, y_1),(x_1,y_2) ซึ่งทั้งสองคู่อันดับนี้ เป็นคู่อันดับใน f^{-1}

ดังนั้นเราสามารถแทน คู่อันดับทั้งสองไปในสมการ x = 2y + 3 ได้

ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันจะได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันเพราะ เมื่อสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเหมือนกันสมาชิกตัวหลังก็เหมือนกันด้วย

วิธีที่ 2  จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่เพื่อนำมาสรุปการเป็นฟังก์ชันของf^{-1} 

สมมติให้ (x_1,y_1),(x_2,y_1) เป็นคู่อันดับใน f 

ดังนั้นเราสามารถแทนคู่อันดับทั้งสองคู่อันดับในสมการ y = 2x + 3 ได้

ได้เป็น ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเมื่อเราให้สมาชิกตัวหลังเท่ากันแล้วเราได้ว่าสมาชิกตัวหน้าก็เท่ากัน

และ จาก f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเลยทำให้สรุปได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชัน

 

จากวิธีทั้งสองวิธี น้องๆสามารถเลือกวิธีตรวจสอบที่ตัวเองถนัดได้เลย ได้คำตอบเหมือนกันจ้า

 

เนื้อหาที่ควรรู้เพื่อง่ายต่อการทำความเข้าใจ

 

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

ดูคลิป

แนะนำ

แชร์

ระดับภาษา เรียนรู้วิธีใช้ให้ถูกต้องและเหมาะสม

ระดับภาษา มีความสำคัญอย่างมากในภาษาไทย น้อง ๆ ทราบไหมคะว่าภาษาที่เราใช้กันอยู่ในทุกวันนี้ ก็มีระดับของมันที่จะเป็นตัวบ่งบอกความเหมาะสม ให้เราได้เลือกใช้กันอย่างถูกกาลเทศะ อยากรู้ไหมคะว่ามีกี่ระดับ แต่ละระดับเป็นอย่างไร ต้องใช้แบบไหน ใช้กับใครจึงจะถูก ถ้าพร้อมแล้ว ไปเรียนรู้บทเรียนภาษาไทยในวันนี้กันเลยค่ะ   ความหมายของ ระดับภาษา     ระดับภาษา หมายถึง ความลดหลั่นของถ้อยคำและการเรียบเรียงถ้อยคำที่ใช้โดยพิจารณาตามโอกาสหรือกาลเทศะ ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคลที่เป็นผู้สื่อสาร ผู้รับสาร และเนื้อหาที่สื่อสาร  

ประโยคในภาษาไทย

ทริคสังเกต ประโยคในภาษาไทย รู้ไว้ไม่สับสน

  น้อง ๆ หลายคนคงจะเคยสับสนและมีข้อสงสัยเกี่ยวกับประโยคในภาษาไทยกันมาไม่มากก็น้อย ทำไมอยู่ดี ๆ เราถึงไม่เข้าใจประโยคภาษาไทยที่พูดกันอยู่ทุกวันไปได้นะ? แต่ไม่ต้องกังวลไปนะคะ บทเรียนภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ กลับไปทบทวนเกี่ยวกับเรื่องประโยคอีกครั้ง พร้อมเรียนรู้เคล็ดลับการสังเกตประโยคง่าย ๆ จะเป็นอย่างไร ไปดูพร้อมกันเลยค่ะ   ความหมายของประโยค   ประโยค เป็นหน่วยทางภาษาที่เกิดจากการนำคำหลาย ๆ คำ หรือกลุ่มคำ มาเรียงต่อกันอย่างเป็นระบบ มีความสัมพันธ์กัน

การตั้งคําถามทางสถิติ

การตั้งคําถามทางสถิติ บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง การตั้งคําถามทางสถิติ ไว้อย่างละเอียด ก่อนอื่นน้องมาทำความเข้าใจกับความหมายของ “คำถามทางสถิติ” คำถามทางสถิติ  หมายถึง คำถามที่มีคำตอบหรือคาดว่าจะได้รับคำตอบมากกว่า 1 คำตอบ รวมถึงคำถามที่ต้องการคำตอบซึ่งได้มาจากการรวบรวมข้อมูลพื้นฐานบางอย่างแล้วนำมาจำแนก  คำนวณ หรือวิเคราะห์เพื่อใช้ตอบคำถามนั้น คำถามทางสถิติจะต้องประกอบด้วยองค์ประกอบสำคัญ 3 ส่วน ได้แก่ ระบุสิ่งที่ต้องการศึกษาได้ มีกลุ่มบุคคลหรือสิ่งที่จะเก็บรวบรวมข้อมูลที่หลากหลาย สามารถคาดการณ์ได้ว่าคำตอบที่จะเกิดขึ้นมีความแตกต่างกัน ตัวอย่างคำถามทางสถิติ คำถามต่อไปนี้เป็นคำถามทางสถิติ อัตราส่วนที่เหมาะสมในการผสมสีทาบ้าน แต่ยี่ห้อควรเป็นอย่างไร

คติธรรมในสำนวนไทย

คติธรรม หมายถึง ธรรมที่เป็นแบบอย่าง เป็นวัฒนธรรมที่เกี่ยวกับหลักการดำเนินชีวิตซึ่งได้มาจากหลักธรรมทางพระพุทธศาสนาหรืออาจเรียกได้ว่าเป็นวัฒนธรรมทางจิตใจอย่างหนึ่งที่คนไทยให้ความสำคัญอย่างมากและมักจะถูกสอดแทรกอยู่ในสื่อต่าง ๆ เพื่อปลูกฝังเด็กรุ่นใหม่ให้มีคติธรรมประจำใจ ไม่ว่าจะเป็นนิทานหรือสำนวนไทย สำหรับบทเรียนในวันนี้เราจะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้เรื่อง คติธรรมในสำนวนไทย มาดูกันค่ะว่าจะมีอะไรบ้าง   สำนวนที่เกี่ยวกับคติธรรม   สำนวนไทยถือเป็นภูมิปัญญาในการใช้ภาษาไทยอีกรูปแบบหนึ่ง เป็นถ้อยคำที่มิได้มีความหมายตรงไปตรงมาตามตัวอักษร หรือแปลตามรากศัพท์ แต่เป็นถ้อยคำที่มีความหมายเป็นอย่างอื่น ชวนให้ผู้อ่านได้คิด มีรูปแบบการใช้ภาษาที่ต้องผ่านการเรียบเรียงถ้อยคำ การรวมข้อความยาว ๆ ให้สั้น โดยนำถ้อยคำเพียงไม่กี่คำมาเรียงร้อย

โจทย์ปัญหาการวัด ม.2

ในบทความนี้เราจะได้เรียนรู้ตัวอย่างโจทย์การแปลงหน่วย และหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตต่างๆ พร้อมทั้งเรียนรู้การใช้สูตรที่เร็วขึ้น

หน้าห้องเรียน หน้าเพลย์ลิสต์ แอป NockAcademy
โลโก้ NockAcademy (มือถือ)

NockAcademy

ยังมีฟีเจอร์อีกมากมายในแอปของเรา

Download for free!
โลโก้ NockAcademy

ติดต่อ

คำถามที่พบบ่อย
099-062-4026
Facebook
Youtube

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

โฆษณา
โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

เรียนเลย