ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ในบทความนี้จะกล่าวถึงฟังก์ชันที่เป็นส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ และฟังก์ชันที่เกิดจากการดำเนินการของค่า cosθ sinθ ซึ่งก็คือ tanθ และ cotθ นอกจากนี้ยังจะกล่าวถึงโคฟังก์ชันของฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกด้วย

ในบทความนี้สิ่งที่น้องๆต้องรู้ก็คือ วิธีการหาค่า cosθ และ sinθ จตุภาคของพิกัดจุดปลายส่วนโค้ง ซึ่งสามารถอ่านได้ตามลิงค์ด้านล่างนี้เลยค่ะ

• การวัดความยาวส่วนโค้ง
• ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

หลังจากที่น้องๆมีพื้นฐาน 2 เรื่องที่กล่าวมาแล้วเราจะเริ่มทำความรู้จักกับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆกันค่ะ

ฟังก์ชันที่เป็นส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ฟังก์ชันที่เป็นส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์ เรียกว่า โคเซค และฟังก์ชันที่เป็นส่วนกลับของโคไซน์ เรียกว่า เซค

เมื่อกำหนดให้ θ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

cosecθ = $\frac{1}{sin\theta }$ โดยที่ sinθ ≠ 0

secθ = $\frac{1}{cos\theta }$ โดยที่ cosθ ≠ 0

หลักการจำคือ ให้จำแค่ secθ >>> จำว่า cos sec ( อ่านว่า คอสเซค) ซึ่งหมายถึงว่า secθ เป็นส่วนกลับของ cosθ นั่นเอง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

ให้ θ เป็นจำนวนจริง

tanθ = $\frac{sin\theta }{cos\theta }$ เมื่อ cosθ ≠ 0

cotθ = $\frac{cos\theta }{sin\theta }$ เมื่อ sinθ ≠ 0 หรือจะบอกว่า cotθ = $\frac{1}{tan\theta }$ ก็ได้

โคฟังก์ชันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

โคฟังก์ชัน (Co-function) คือฟังก์ชันที่จับคู่กัน ได้แก่

sin เป็นโคฟังก์ชันของ cos

sec เป็นโคฟังก์ชันของ cosec

tan เป็นโคฟังก์ชันของ cot

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เขียนอยู่ในรูป ( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) สามารถใช้หลักของโคฟังก์ชันได้ดังนี้

sin( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) = cosθ cosec( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) = secθ

cos( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) = sinθ sec( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) = cosecθ

tan( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) = cotθ cot( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) = tanθ

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เขียนอยู่ในรูป ( $\frac{\pi }{2}$ + θ )

sin( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = cosθ cosec( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = secθ

cos( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = -sinθ sec( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = -cosecθ

tan( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = -cotθ cot( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = -tanθ

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เขียนในรูป ( $\frac{3\pi }{2}$ – θ )

sin( $\frac{3\pi }{2}$ – θ ) = -cosθ cosec( $\frac{3\pi }{2}$ – θ ) = -secθ

cos( $\frac{3\pi }{2}$ – θ ) = -sinθ sec( $\frac{3\pi }{2}$ – θ ) = -cosecθ

tan( $\frac{3\pi }{2}$ – θ ) = cotθ cot( $\frac{3\pi }{2}$ – θ ) = tanθ

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เขียนในรูป ( $\frac{3\pi }{2}$ + θ )

sin( $\frac{3\pi }{2}$ + θ ) = -cosθ cosec( $\frac{3\pi }{2}$ + θ ) = -secθ

cos( $\frac{3\pi }{2}$ + θ ) = sinθ sec( $\frac{3\pi }{2}$ + θ ) = cosecθ

tan( $\frac{3\pi }{2}$ + θ ) = -cotθ cot( $\frac{3\pi }{2}$ + θ ) = -tanθ

น้องๆเห็นแล้วอาจจะคิดว่ามันเยอะแต่เราสามารถเลือกจำแค่บางตัวได้ตัวที่พี่อยากให้จำคือ sin และ cos

เช่น เราต้องการหา

tan( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบคือ $\frac{sin\left ( \frac{\pi }{2} +\theta \right )}{cos\left ( \frac{\pi }{2} +\theta \right )}$

แยกหา sin( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = cosθ และ cos( $\frac{\pi }{2}$ + θ ) = -sinθ

ดังนั้นจะได้ $\frac{cos\theta }{-sin\theta }$ ซึ่งก็คือ -cotθ นั่นเอง

ตัวอย่างการหาค่าโคฟังก์ชัน

1. sec( $-\frac{4\pi }{5}$ )

วิธีทำ เรารู้ว่า โคฟังก์ชันของ sec คือ cosec

พิจารณา sec( $-\frac{4\pi }{5}$ ) ตอนนี้เราได้ θ = $-\frac{4\pi }{5}$

จาก cosec( $\frac{\pi }{2}$ – θ ) = secθ

ดังนั้น sec( $-\frac{4\pi }{5}$ ) = cosec( $\frac{\pi }{2}-$ ( $-\frac{4\pi }{5}$ )) = cosec( $\frac{13\pi }{10}$ )

เราสามารถหาโคฟังก์ชันได้อีกวิธีหนึ่ง

นั่นก็คือเราจะพิจารณาว่า $-\frac{4\pi }{5}$ มาจากอะไร????

พิจารณา $\frac{\pi }{2}-$ $\frac{13\pi }{10}$ = $-\frac{4\pi }{5}$

จะได้ว่า sec( $-\frac{4\pi }{5}$ ) = sec( $\frac{\pi }{2}-$ $\frac{13\pi }{10}$ ) = cosec( $\frac{13\pi }{10}$ )

การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

การหาค่าฟังก์ชันตรีโกนณ์เหล่านี้ไม่ยากเลย ยิ่งถ้าน้องๆมีพื้นฐานการหาค่าฟังก์ชันไซน์กับโคไซน์แล้วยิ่งง่ายมากๆเลย

เช่น ต้องการหา secθ เราก็แค่หา cosθ มาก่อน จากนั้นนำค่าที่ได้ไปเป็นตัวหารเราก็จะได้ค่า secθ มาแล้ว

ตัวอย่าง

1. หาค่า sec( $\frac{4\pi }{3}$ ) + cosec( $\frac{7\pi }{6}$ ) – 3cot( $\frac{4\pi }{3}$ )

• พิจารณา sec( $\frac{4\pi }{3}$ ) จาก secθ = $\frac{1}{cos\theta }$ ดังนั้น เราจะมาหาค่าของ cos( $\frac{4\pi }{3}$ )

จากกฎมือซ้าย จะได้ว่า cos( $\frac{\pi }{3}$ ) = $\frac{1}{2}$

พิจารณา $\frac{4\pi }{3}$ อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่งค่า x = cosθ ต้องเป็นจำนวนลบ

ดังนั้น cos( $\frac{4\pi }{3}$ ) = $-\frac{1}{2}$ นั่นคือ sec( $\frac{4\pi }{3}$ ) = -2

• พิจารณา cosec( $\frac{7\pi }{6}$ ) จาก cosec( $\frac{7\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{sin\left ( \frac{7\pi }{6} \right )}$

ดังนั้นเราจะมาหาค่าของ sin( $\frac{7\pi }{6}$ ) ซึ่ง $\frac{7\pi }{6}$ อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่งค่า sin จะเป็นลบ และจาก sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$

ดังนั้น sin( $\frac{7\pi }{6}$ ) = $-\frac{1}{2}$ นั่นคือ cosec( $\frac{7\pi }{6}$ ) = -2

• พิจารณา cot( $\frac{4\pi }{3}$ ) = $\frac{cos\left ( \frac{4\pi }{3} \right )}{sin\left ( \frac{4\pi }{3} \right )}$

เนื่องจากเรารู้ว่า cos( $\frac{4\pi }{3}$ ) = $-\frac{1}{2}$

ดังนั้นเราจะมาพิจารณา sin( $\frac{4\pi }{3}$ ) โดย $\frac{4\pi }{3}$ อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ค่า sin เป็นลบ และจากกฎมือซ้าย sin( $\frac{\pi }{3}$) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ดังนั้น sin( $\frac{4\pi }{3}$ ) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

จะได้ว่า cot( $\frac{4\pi }{3}$ ) = $\frac{cos\left ( \frac{4\pi }{3} \right )}{sin\left ( \frac{4\pi }{3} \right )}$ = $\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

ดังนั้น sec( $\frac{4\pi }{3}$ ) + cosec( $\frac{7\pi }{6}$ ) – 3cot( $\frac{4\pi }{3}$ ) = -2 + (-2) – 3( $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ) = $-4-\frac{3}{\sqrt{3}}$