ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ คือ สัญลักษณ์หรือข้อความที่เมื่อเราเอาไปเติมใน “ประโยคเปิด” แล้วจะทำให้ประโยคนั้นกลายเป็นประพจน์

ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่ติดค่าตัวแปรที่ยัง “ไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ” โดยตัวแปรนั้นเป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (Universe : U)

ประโยคเปิด ยังไม่ใช่ประพจน์ (แต่เกือบเป็นแล้ว) เพราะเรายังไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

เช่น  “x มากกว่า 3” จะเห็นว่าตัวแปร คือ x ซึ่งเราไม่รู้ว่า x คืออะไร และมากกว่า 3 จริงไหม ดังนั้น ข้อความนี้ยังไม่เป็นประพจน์

เราจะกำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดใดๆ

เราสามารถทำประโยคเปิดให้เป็น “ประพจน์” ได้ 2 วิธี คือ

1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แทนค่าตัวแปรลงไป

เช่น x มากกว่า 3 โดยเอกภพสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม

จะเห็นว่า ถ้าเราให้ x เท่ากับ 2 (ซึ่ง 2 เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์) เราจะได้ว่า ประโยค 2 มากกว่า 3 เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็นประพจน์

2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่ 2 ชนิด คือ

2.1) ∀x (อ่านว่า for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว” คำที่มีความหมายเดียวกับ ∀x ที่เราเห็นกันบ่อยๆ เช่น สำหรับ x ใดๆ, สำหรับ x แต่ละตัว

2.2) ∃x (อ่านว่า for some x)ใช้แทนคำว่า “มี x บางตัว” คำที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน ∃x เช่น มี x อย่างน้อย 1 ตัว

วิธีการเขียนตัวบ่งปริมาณ

เราจะให้ P(x) แทนประโยคเปิด เราจะใช้สัญลักษณ์ ∀xP(x) และ ∃xP(x) 

สมมติถ้าให้ P(x) แทน x+2 ≥ 2 และให้ U ∈ เมื่อ เป็นเซตของจำนวนจริง

จะได้ ∀x[x+2 ≥ 2] อ่านว่า สำหรับ x ทุกตัว ที่ x+2 ≥ 2

และจะได้ ∃x[x+2 ≥ 2]  อ่านว่า มี x บางตัว ที่ x+2 ≥ 2

**ค่า x ที่จะเอามาพิจารณาได้คือ เลขใดก็ได้ที่เป็นจำนวนจริง แต่!!! ค่าความจริงจะเป็นจริงหรือเท็จนั้นก็อีกเรื่องนะคะ**

ตัวบ่งปริมาณกับตัวเชื่อม

จากที่เรารู้กันว่า เราสามารถเชื่อมประพจน์สองประพจน์โดยใช้ตัวเชื่อมแล้วได้ประพจน์ใหม่ขึ้นมา เรื่องนี้ก็เหมือนกันค่ะ เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณโดยใช้ตัวเชื่อมที่เคยเรียนมา

มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าค่ะ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ U = เมื่อ เป็นเซตของจำนวนจริง

P(x) แทน x เป็นจำนวนนับ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนจริง

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

• จำนวนนับทุกตัวเป็นจำนวนจริง
• สำหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจำนวนนับแล้ว x เป็นจำนวนจริง
• สำหรับ x ทุกตัว ถ้า P(x )แล้ว Q(x )
• ∀x[P(x) → Q(x)]

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้

P(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนเฉพาะ

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

• “มี” จำนวนตรรกยะบางตัว “ไม่ใช่” จำนวนเฉพาะ
• มี x บางตัวซึ่ง P(x) และ ∼Q(x)
• ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)]

ตัวอย่างของการใช้ ∀ และ ∃ 

1.) ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ค่า x ที่สามารถแทนลงใน 2x ≥ 10 คือสมาชิกทุกตัวใน U

จากโจทย์ จะได้ว่า ∃x[2x ≥ 10] หมายความว่า มี x บางตัวที่ทำให้ 2x ≥ 10 เป็นจริง

 

2.) ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ U = {-4, 2}

จากโจทย์ จะได้ว่า ∀x[x² + 2x – 8 = 0] หมายความว่า x ทุกตัวใน U ทำให้สมการ x² + 2x – 8 = 0 เป็นจริง

 

ข้อความที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ใช้กับข้อที่ 3-5

P(x) แทน x เป็นจำนวนเต็ม

Q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

E(x) แทน x เป็นจำนวนเต็มคู่

A(x) แทน x  เป็นจำนวนเต็มคี่

3.) จากข้อความข้างต้นสามารถสรุปอะไรได้บ้าง

• จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ
• จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนเต็มคู่หรือจำนวนเต็มคี่

4.) นำคำตอบจากข้อ 3 มาเขียนเป็นสัญลักษณ์

• จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนตรรกยะ)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[P(x) → Q(x)]

• จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนเต็มคู่ หรือ จำนวนเต็มคี่)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[ P(x) → (E(x) ∨ A(x)) ]

5.) เขียนประโยคจากสัญลักษณ์ที่กำหนดให้

1. ∃x[Q(x) ∧ P(x)] : มี x บางตัวที่เป็นจำนวนตรรกยะ และ เป็นจำนวนเต็ม
2. ∃x[E(x) ∧ ∼A(x)] : มีจำนวนเต็มคู่บางตัวซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มคี่

ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

สำหรับ ∀

• ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่า x ด้วยสมาชิกจากเอกภพสัมพัทธ์ทุกครั้ง P(x) ก็ยังเป็นจริง

เช่น ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ เอกภพสัมพัทธ์ (U) = {-4, 2}

จากตัวอย่างจะเห็นว่า เมื่อเราแทน x ด้วย -4 (ซึ่งเป็นสามาชิกใน U) จะได้ 16 – 8 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

เมื่อแทน x ด้วย 2 (ซึ่งเป็นสมาชิกใน U) จะได้ 4 + 4 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

ดังนั้น ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

• ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ มีบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) เป็นเท็จ

เช่น  ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ถ้าเราแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 เห็นได้ชัดว่า P(x) เป็นจริง

เมื่อเราลองแทน x ด้วย 1 จะเห็นว่า 2(1) ≥ 10 เป็นเท็จ

ดังนั้นเราสรุปได้เลยว่า ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

สำหรับ ∃

• ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) แล้วทำให้เป็นจริง (อาจจะมีแค่ 1 ตัว หรือทุกตัวก็ได้นะจ๊ะ)

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 จะเห็นว่า  P(5) = 2(5) ≥ 10 , P(7) = 2(7) ≥ 10 และ P(9) = 2(9) ≥ 10 เป็นจริง

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

• ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิกใน U แล้วทำให้ P(x) เป็น “เท็จทุกกรณี”

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≤ 10 และ U= {5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อเราแทนค่า x ด้วย 5 , 7, 9 ลงใน 2x ≤ 10 จะได้ว่า P(x) เป็นเท็จทุกกรณี

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของ “ตัวบ่งปริมาณ” กรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร

 

ในกรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร เราจะใช้สัญลักษณ์ P(x, y) และเมื่อเราเติมตัวบ่งปริมาณลงไปแล้ว จะได้ประพจน์ 4 ประพจน์ที่เป็นไปได้ ดังนี้

ให้ a∈ U

1. ∀x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นเท็จ

2.∃x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นเท็จ

3.∀x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นเป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นเท็จ

4.∃x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  P(a, y) เป็นเท็จ

 

ถ้าน้องๆอ่านแล้วยังงงๆเราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U เป็นเซตของจำนวนเต็ม

1.) ∀x[x ≠ x²]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อ แทน x = 1 จะเห็นว่า 1 = 1²

2.) ∃x[x² ≥ 0]

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อเราลองแทนค่า x = 1 จะเห็นว่า 1² ≥ 0 (∃ : เป็นจริงแค่กรณีเดียวก็ถือว่าประพจน์เป็นจริงแล้ว)

3.) ∃x[x + 2 = x]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ ในระบบจำนวนจริงนั้น มีแค่ x + 0 = x ดังนั้น จึงไม่มี x ที่ทำให้ x +2 = 0

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U = {-1, 0, 1}

1.) ∀x∀y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ (-1)²- 1 = 1² – (-1)  ⇒  1 – 1  = 1 + 1 ⇒ 0 = 1 (เป็นเท็จ)

**∀ : เป็นเท็จแค่กรณีเดียวก็ถือว่าเป็นประพจน์นั้นเป็นเท็จ

วิธีคิดอย่างละเอียด :

แต่สำหรับคนที่เชี่ยวชาญแล้ว เพื่อเป็นการประหยัดเวลา ให้เราลองคิดว่ากรณีไหนบ้างที่จะทำให้เป็นเท็จ แล้วลองแทนค่า x y แค่กรณีนั้นก็พอ ถ้าได้คำตอบออกมาเป็นเท็จจริงก็สามารถสรุปได้เลย

 

2.) ∀x∃y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อแทน -1, 0 และ 1 ใน x แล้วจะได้

จะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของ U ที่เมื่อแทนค่าลงใน y แล้วเป็นจริง

 

3.) ∃x∀y[x² – y ≠ y² – x] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ

4.) ∃x∃y[2x + 1 ≤ y] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริงเพราะ เมื่อลองแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ 2(-1) + 1 ≤ 1  ⇒  -2 + 1 ≤ 1  ⇒  -1 ≤ 1 (เป็นจริง)

 

สรุป

1. ตัวบ่งปริมาณ มี 2 ชนิด คือ ∀ (ทุกตัว) ∃ (บางตัว)
2. เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ประพจน์ได้ โดยใช้ตัวเชื่อมของประพจน์
3. กรณี 1 ตัวแปร การหาค่าความจริงจะไม่ซับซ้อนมาก
4. กรณี 2 ตัวแปร การหาค่าความจริงค่อนข้างซับซ้อน ให้แทนค่าใน x ก่อน แล้วค่อยแทนค่าใน y ทีหลัง
5. แน่นอนค่ะ อะไรที่ง่ายๆ จะไม่ค่อยออกสอบ(แต่ก็ไม่ได้แปลว่าจะไม่ออกนะคะ) ดังนั้น ให้ศึกษากรณี 2 ตัวแปรให้เยอะๆนะคะ เพราะถ้าทำ 2 ตัวแปรได้ 1 ตัวแปรก็คงชิลๆแล้วค่ะ