ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ $\left | A \right |$

โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอในข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3 เพราะถ้ามากกว่า 3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก

**ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เพียงค่าเดียวเท่านั้น**

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

หลักการจำคือ คูณลง ลบ คูณขึ้น

เช่น

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3

การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 จะซซับซ้อนกว่า 2×2 นิดหน่อย แต่ยังใช้หลักการเดิมคือ คูณลง ลบ คูณขึ้น และสิ่งที่เพิ่มมาก็คือ การเพิ่มจำนวนหลักเข้าไปอีก 2 หลัก ซึ่งหลักที่เพิ่มนั้นก็คือค่าของ 2 หลักแรกนั่นเอง

ตัวอย่างเมทริกซ์ขนาด 3×3

สมบัติเกี่ยวกับ ดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ขนาด n×n

1.) $\mathrm{det(A)=det(A^t)}$ โดยที่ $\mathrm{A^t}$ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

2.) ถ้า สมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง (หรือหลักใดหลักหนึ่ง) เป็น 0 ทุกตัว จะได้ว่า $\mathrm{det(A)=0}$

เช่น

3.) ถ้า B คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับแถว (หรือหลัก) ของ A เพียงคู่เดียว จะได้ว่า $\mathrm{det(B)=-det(A)}$

เช่น

4.) ถ้า B เกิดจากการคูณค่าคงตัว c ในสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง (หลักใดหลักหนึ่ง) ของ A จะได้ว่า $\mathrm{det(B)=cdet(A)}$

เช่น

5.) $\mathrm{det(AB)=det(A)det(B)}$

6.) $\mathrm{det(I_n)=1}$ และ $\mathrm{det(\underbar{0})=0}$

7.) $\mathrm{det(A^n)=(det(A))^n}$

เช่น

8.) A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ $\mathrm{det(A)=0}$

9.) A เป็ยเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ $\mathrm{det(A)\neq 0}$

10.) ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้วจะได้ว่า $\mathrm{det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}}$

11.) ถ้า c เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า $\mathrm{det(cA)=c^ndet(A)}$ (n คือมิติของเมทริกซ์ A)

เช่น

12.) สามเหลี่ยมล่าง และสามเหลี่ยมบน

ถ้า สมาชิกที่อยู่ใต้เส้นทะแยงมุมหลัก (หรือบนเส้นทะแยงมุมหลัก) เป็น 0 ทุกตัว จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับ ผลคูณของสมาชิกเส้นทะแยงมุมหลัก

เช่น