การแยกตัวประกอบพหุนาม
การแยกตัวประกอบพหุนาม เป็นการแยกตัวประกอบของสมการเพื่อให้ง่ายต่อการหาคำตอบของสมการที่จะต้องเรียนในเนื้อหาถัดไป ในบทความนี้จะพูดถึงพหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว
พหุนามดีกรี 2 คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุด คือ 2
พหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2 และ มีตัวแปร 1 ตัว เขียนอยู่ในรูป ax² + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0
ค่าคงที่ คือ ค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลง พูดง่ายๆก็คือ เป็นตัวเลขตัวหนึ่ง
สาเหตุที่ a ≠ 0 เพราะ ถ้าเราสมมติให้ a เป็น 0 เราจะได้ว่า 0x² + bx + c = bx + c จะเห็นว่า เมื่อ a = 0 แล้ว ดีกรีสูงสุดก็คือ 1 มันจะกลายเป็น พหุนามดีกรี 1 ดังนั้น a เลยเป็น 0 ไม่ได้นั่นเองค่ะ
แต่ b และ c เป็น 0 ได้ เพราะ ดีกรียังคงเป็น 2 ก็ยังคงเป็นพหุนามดีกรี 2 อยู่
ตัวอย่าง พหุนามดีกรี 2
x² + 2x + 1 จะได้ว่า a = 1, b = 2, c = 1 และเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2
2x² + 3x + 5 จะได้ว่า a = 2, b = 3, c = เลขยกกำลังสูงสุดคือ 2
เราลองสังเกต (x+2)(x+5) เราลองกระจายดู จะได้ว่า
ทำย้อนกลับ x² + 7x + 10 เราต้องคิดก่อนว่า ตัวเลข 2 ตัวใดที่คูณกันแล้วได้ 10 บวกกันแล้วได้ 7
10 = 1 × 10 = 2 × 5 เลขที่ คูณกันได้ 10 มี 2 กรณี คือ 1 กับ 10 และ 2 กับ 5
จากนั้นเรานำ เลขทั้ง 2 กรณี มาพิจารณาว่า กรณีไหนที่บวกกันแล้ว ได้เท่ากับ 7
1 + 10 = 11
2 + 5 = 7
ดังนั้น 2 กับ 5 คือตัวที่ บวกกันแล้วได้ 7 คูณกันแล้วได้ 10
ดังนั้น x² + 7x + 10 = (x+2)(x+5)
พหุนามในรูปกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสอง
การแยกตัวประกอบในรูปกำลังสองสมบูรณ์
น แทน หน้า
ล แทน หลัง
(น + ล)² = น² + 2นล + ล²
(น – ล)² = น² – 2นล + ล²
ตัวอย่าง
1.) (x + 3)² = x² + 2(3)x + 3² = x² + 6x + 9
2.) (2x – 5) = (2x)² – 2(2)(5)x + 5² = 4x² – 20x +25
การแยกตัวประกอบในรูปผลต่างกำลังสอง
น² – ล² = (น – ล)(น + ล)
ตัวอย่าง
x² – 2² = (x – 2)(x + 2)
x² – 16 = (x – 4)(x + 4)
ตัวอย่าง การแยกตัวประกอบพหุนาม กรณี a = 1
กรณี a = 1 พหุนามจะอยู่ในรูป x² + bx + c โดยที่ b, c เป็นค่าคงที่ใดๆ เราจะหาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันแล้วเท่ากับ c และ บวกกันแล้วเท่ากับ b
1.) x² + 5x + 4
วิธีทำ จากโจทย์ได้ว่า a = 1, b = 5 และ c = 4
พิจารณาว่า จำนวน 2 จำนวนใด ที่คูณกันแล้วได้ 4
4 = 1 × 4 = 2 × 2
จากนั้นพิจารณาว่า กรณีไหนที่ บวกกันแล้วได้ 5
จะได้ว่า 1 + 4 = 5
ดังนั้น x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
น้องๆสามารถตรวจคำตอบได้ โดยการคูณกระจาย ถ้ากระจายเสร็จแล้วได้ตรงกับโจทย์แสดงว่าแยกตัวประกอบถูกแล้วนั่นเอง
2.) x² – 2x +1
วิธีทำ จากโจทย์ ได้ว่า a = 1, b = -2 และ c = 1
พิจารณาว่า จำนวนใดคูณกันแล้วได้เท่ากับ 1 และบวกกันได้เท่ากับ -2
1 = 1 × 1 = (-1) × (-1)
จากนั้น พิจารณาว่า กรณีใดที่บวกกันแล้วได้ -2
จะได้ว่า (-1) + (-1) = -2
ดังนั้น x² – 2x +1 = (x – 1)(x – 1)
3.) x² – 2x -35
วิธีทำ จากโจทย์ จะได้ว่า a = 1, b = -2 และ c = -35
พิจารณา จำนวนที่ คูณกันแล้วได้ -35 การที่คูณแล้วจะได้ -35 นั้น ตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนบวก และอีกตัวต้องเป็นจำนวนลบ
-35 = (-1) × 35 = 1 × (-35) = (-5) × 7 = 5 × (-7) ได้ 4 กรณี
จากนั้นพิจารณากรณีทั้ง 4 ว่ากรณีไหนบวกกันแล้วได้เท่ากับ -2
จะได้ว่า (-7) + 5 = -2
ดังนั้น x² – 2x -35 = (x – 7)(x + 2)
ตัวอย่าง การแยกตัวประกอบพหุนาม กรณี a ≠ 1
1.) 2x² + 5x + 2
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ a = 2, b = 5, c = 2
2.) -x² – 4x +5
วิธีทำ a = -1, b = -4, c = 5
3.) 6x² + 7x + 2
วิธีทำ a = 6, b = 7, c = 2
